Fläche ableiten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Do 07.02.2013 | | Autor: | jackyooo |
Hey,
folgendes Szenario: Ich führe ein Dreieck mit der Spitze in ein homogenes Feld ein. (konstante Geschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] )
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich jetzt den Zeitpunkt an dem die Spitze ins Feld eintritt als t=0 bezeichne, kann ich folgende Funktion der Fläche berechnen:
[mm] $A(z)=\frac{az}{2}$
[/mm]
[mm] $v_0=\frac{z}{t}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow A(t)=\frac{v_0 t a}{2}$
[/mm]
Ich will aber die Flächenänderung(t) haben. Müsste ich dann nicht einfach die Funktion nach ableiten?
Sprich
[mm] $\frac{dA}{dt}=\frac{v_0 a}{2}$
[/mm]
Nur ist das halt Quatsch, weil die Flächenänderung ja nicht linear ist. Wo ist mein Denkfehler?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
der Fehler in der Berechnung ist der, dass du mit einer konstanten Grundseite a rechnest. In Wirklichkeit ist aber die Grundseite des Dreiecks, welches sich in dem Feld befindet, genau so von t abhängig, wie die Eindringtiefe z.
Wir haben
[mm] z=v_0*t
[/mm]
und mit dem Strahlensatz
[mm] \bruch{x}{z}=\bruch{a}{b}
[/mm]
und damit die Grundseite x mit
[mm] x=z*\bruch{a}{b}=v_0*\bruch{a}{b}*t
[/mm]
Wenn du damit die Flächeninhaltsfunktion A(z) bzw. A(t) aufstellst, wird sie quadratisch, genau so, wie es sein sollte.
> Ich will aber die Flächenänderung(t) haben. Müsste ich
> dann nicht einfach die Funktion nach ableiten?
Doch, genau so ist es. Aber halt mit der richtigen Funktion. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Do 07.02.2013 | | Autor: | jackyooo |
Aah, stimmt.
Also:
$$A(z)=zy$$
[mm] $$\frac{z}{y}=\frac{b}{a}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow A(z)=\frac{z^2 a}{b}$$
[/mm]
mit $z=vt$
[mm] $$\Rightarrow A(t)=\frac{v^2 t^2 a}{b}$$
[/mm]
[mm] $$\frac{dA}{dt}=\frac{2tav^2}{b}$$
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo,
> Aah, stimmt.
>
> Also:
>
> [mm]A(z)=zy[/mm]
> [mm]\frac{z}{y}=\frac{b}{a}[/mm]
> [mm]\Rightarrow A(z)=\frac{z^2 a}{b}[/mm]
> mit [mm]z=vt[/mm]
> [mm]\Rightarrow A(t)=\frac{v^2 t^2 a}{b}[/mm]
>
> [mm]\frac{dA}{dt}=\frac{2tav^2}{b}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Nein: denn jetzt ist es kein Dreieck mehr, sondern ein Rechteck.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Do 07.02.2013 | | Autor: | jackyooo |
> Hallo,
>
> > Aah, stimmt.
> >
> > Also:
> >
> > [mm]A(z)=zy[/mm]
> > [mm]\frac{z}{y}=\frac{b}{a}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow A(z)=\frac{z^2 a}{b}[/mm]
> > mit [mm]z=vt[/mm]
> > [mm]\Rightarrow A(t)=\frac{v^2 t^2 a}{b}[/mm]
> >
> > [mm]\frac{dA}{dt}=\frac{2tav^2}{b}[/mm]
> >
> > Stimmt das so?
>
> Nein: denn jetzt ist es kein Dreieck mehr, sondern ein
> Rechteck.
Sicher? Wähle [mm] $v=\frac{b}{2s}\\t=1s$
[/mm]
[mm] \Rightarrow $A(1s)=\frac{ab}{4}$
[/mm]
$A(2s)=ba$
Passt doch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Do 07.02.2013 | | Autor: | chrisno |
Das hängt ein wenig davon ab, wie groß die Geschwindigkeit ist. Nach Deiner Rechnung ist nach 2 s die doppelte Fläche des Dreiecks eingetaucht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Do 07.02.2013 | | Autor: | jackyooo |
Stimmt. Und wo ist dann der Fehler in meiner Rechnung? Bin das jetzt 2mal durchgegangen und seh einfach keinen Fehler (abgesehen dass es wie du sagst nicht stimmt)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Do 07.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Stimmt. Und wo ist dann der Fehler in meiner Rechnung? Bin
> das jetzt 2mal durchgegangen und seh einfach keinen Fehler
> (abgesehen dass es wie du sagst nicht stimmt)
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist 0,5*g*h.
Du hast den Faktor 0,5 vergessen.
Gruß Abakus
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