Fläche Parameterfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mo 13.04.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Welche Fläche schließt der Graph der Parameterfunktion
[mm] x(t)=\sin(3*t), y(t)=\cos(2*t) [/mm] ein? |
Also es muss ja gelten:
[mm] t_1
wenn ich mir folgenden Graph anschaue :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Müsste ein [mm] t_1=0 [/mm] und ein [mm] t_2=\pi [/mm] sein...
dort gilt nämlich [mm] \wedge x(t_1)=x(t_2) \wedge y(t_1)=y(t_2)
[/mm]
Wenn ich mir die Parameterfunktion zwischen [mm] t_1=0 [/mm] und [mm] t_2=\pi [/mm] zeichnen lasse bekomme ich allerdings nur den "halben" Graph:
[Dateianhang nicht öffentlich]
rechnerisch sähe das ja so aus:
[mm] x(t)=\sin(3*t)=3*\sin(t)-4*sin^3(t)
[/mm]
[mm] y(t)=\cos(2*t)=2*\cos^2(t)-1
[/mm]
für [mm] t_1=0 [/mm] und [mm] t_2=\pi [/mm] kriege ich
[mm] x(0)=x(\pi)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0=0
und
[mm] y(0)=y(\pi)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1=1
...
Habe ich irgendetwas übersehen?
Ich tippe darauf, dass ich trotzdem das richtige Ergebnis rausbekommen müsste, da im gezeichneten graph der rechte Teil des eigentlichen Graphen evtl 2 mal durchlaufen wird?
Obwohl, ne ist glaub ich doch falsch hm...
Danke und Gruß,
tedd
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo tedd,
dies gibt insgesamt eine in sich geschlossene
Lissajous-Kurve. Lass zuerst mal das t ruhig
von 0 bis 2*pi (oder auch weiter) laufen, mach
dir das Periodizitätsverhalten klar und schau dann,
was sich insgesamt für eine Kurve ergibt, die sich
ev. auch mehrfach selber überkreuzen könnte.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mo 13.04.2009 | | Autor: | tedd |
Hmmm....
Also wenn ich die Parameterfunktion von 0 bis 2*pi laufen lasse, kriege ich folgenden Graph:
[Dateianhang nicht öffentlich]
...
Wenn ich mir jetzt die Nullstellen von [mm] \sin(3*t) [/mm] anschaue:
[mm] \sin(3*t)=0
[/mm]
[mm] t=k*\bruch{\pi}{3}
[/mm]
dann habe ich doch eine Periode für [mm] \sin(3*t) [/mm] durchlaufen, wenn ich das 3te mal bei 0 bin...
also 0; [mm] \bruch{\pi}{3}; 2*\bruch{\pi}{3}
[/mm]
Dann wär meine Periodizität für [mm] \sin(3*t) [/mm] doch [mm] k*2*\bruch{\pi}{3}
[/mm]
für [mm] \cos(2*t) [/mm] mache ich's so:
[mm] \cos(2*t)=1 [/mm] (da [mm] \cos(2*t)=1 [/mm] für t=0)
[mm] t=k*\pi
[/mm]
Dann ist meine Periodizität für [mm] \cos(2*t) [/mm] doch [mm] k*\pi
[/mm]
Wenn ich für meinen Graph der Parameterfunktion, dass [mm] t\in[0,\pi] [/mm] wähle, durchläuft die y-Koordinate genau eine Periodendauer von [mm] \cos(2*t) [/mm] und die x-Koordinate durchläuft mehr als eine Periode für [mm] \sin(3*t)...
[/mm]
Irgendwie weis ich nur nicht wie mir da jetzt weiterhilft...
Denn 2 t's die genau eine Peridodendauer beider koordinaten einschließen gibt's doch nicht?!
Danke und Gruß,
tedd
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Mo 13.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hmmm....
>
> Also wenn ich die Parameterfunktion von 0 bis 2*pi laufen
> lasse, kriege ich folgenden Graph:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Weiterlaufen lassen!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Abakus
Oh, ich sehe gerade, dass unsere Graphen verschieden sind. Einer von beiden passt nicht zur gegebenen Parameterform.
EDIT: Meine Kurve ist falsch, ich hatte 2t und 3t vertauscht.
Gruß Abakus
> ...
> Wenn ich mir jetzt die Nullstellen von [mm]\sin(3*t)[/mm]
> anschaue:
>
> [mm]\sin(3*t)=0[/mm]
> [mm]t=k*\bruch{\pi}{3}[/mm]
>
> dann habe ich doch eine Periode für [mm]\sin(3*t)[/mm] durchlaufen,
> wenn ich das 3te mal bei 0 bin...
>
> also 0; [mm]\bruch{\pi}{3}; 2*\bruch{\pi}{3}[/mm]
>
> Dann wär meine Periodizität für [mm]\sin(3*t)[/mm] doch
> [mm]k*2*\bruch{\pi}{3}[/mm]
>
>
> für [mm]\cos(2*t)[/mm] mache ich's so:
>
> [mm]\cos(2*t)=1[/mm] (da [mm]\cos(2*t)=1[/mm] für t=0)
> [mm]t=k*\pi[/mm]
>
> Dann ist meine Periodizität für [mm]\cos(2*t)[/mm] doch [mm]k*\pi[/mm]
>
> Wenn ich für meinen Graph der Parameterfunktion, dass
> [mm]t\in[0,\pi][/mm] wähle, durchläuft die y-Koordinate genau eine
> Periodendauer von [mm]\cos(2*t)[/mm] und die x-Koordinate durchläuft
> mehr als eine Periode für [mm]\sin(3*t)...[/mm]
>
> Irgendwie weis ich nur nicht wie mir da jetzt
> weiterhilft...
>
> Denn 2 t's die genau eine Peridodendauer beider koordinaten
> einschließen gibt's doch nicht?!
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Mo 13.04.2009 | | Autor: | tedd |
sorry ich glaube ich hätte zu meiner ersten grafik schreiben sollen,
dass die blaue funktion [mm] f(x)=\cos(2*x) [/mm] und die rote [mm] f(x)=\sin(3*x) [/mm] darstellen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mo 13.04.2009 | | Autor: | abakus |
> sorry ich glaube ich hätte zu meiner ersten grafik
> schreiben sollen,
> dass die blaue funktion [mm]f(x)=\cos(2*x)[/mm] und die rote
> [mm]f(x)=\sin(3*x)[/mm] darstellen soll.
Hallo, deine Kurve ist doch symmetrisch zur y-Achse.
Wenn du x- und y-Koordinate vertauschst, ist sie symmetrisch zur x-Achse.
Die obere Hälfte kannst du mit Mitteln der Integralrechnung bestimmen, indem du x(t) nach t umstellst und in y(t) den Parameter t durch x(t) ausdrückst.
Die Frage ist nur, ob sich die Funktion y=f(x) dann elementar integrieren lässt...
Gruß Abakus
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> Hmmm....
>
> Also wenn ich die Parameterfunktion von 0 bis 2*pi laufen
> lasse, kriege ich folgenden Graph:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
So sieht der Graph tatsächlich aus. Wenn t die volle
Periode von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] durchläuft, so wird die Kurve
zweimal komplett durchlaufen. Fast jeder Punkt wird
dabei zweimal durchlaufen, einmal in jeder Richtung.
Ausnahmen: der Kreuzungspunkt wird sogar 4 mal
durchlaufen, die beiden "Schwanzspitzen" nur je
einmal.
Für die Flächenberechnung ist es nun wohl wichtig,
ein Parameterintervall so auszuwählen, dass das
Flächenstück, das wirklich zum Flächeninhalt der
geschlossenen Figur beiträgt, genau einmal, und
wenn möglich im Uhrzeigersinn, komplett umrun-
det wird. Ich habe die "interessanten" parame-
trisierten Kurvenpunkte (Start/Hochpunkt, Extrem-
punkte links und rechts (und unten), Kreuzungspunkt)
der Reihe nach O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z bezeichnet -
es geht gerade so schön auf mit dem Alphabet ...).
Dann sollte der Abschnitt von S (Kreuzungspunkt
über T,U,V bis W (wieder im Kreuzungspunkt)
gerade passen. t also von [mm] \bruch{2\pi}{3} [/mm] bis [mm] \bruch{4\pi}{3} [/mm] laufen lassen !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mo 13.04.2009 | | Autor: | tedd |
Alles klar! Das habe ich jetzt verstanden.
bleibt nur noch das Integral hmpf wobei das eigentlich nur rechenarbeit sein sollte:
[mm] x(t)=\sin(3t)
[/mm]
[mm] \dot x(t)=3*\cos(3t)
[/mm]
[mm] y(t)=\cos(2t)
[/mm]
[mm] \dot y(t)=-2*\sin(2t)
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{2}*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{-2*\sin(2t)*\sin(3t)-3*\cos(3t)\cos(2t)}dt
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{2*(2*\sin(t)*\cos(t))*(3*\sin(t)-4*\sin^3(t))+3*\left(4*\cos^3(t)-3*\cos(t)\right)*(\cos^2(t)-sin^2(t))}dt
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{2*(6*\sin^2(t)*\cos(t)-8*\sin^4(t)*\cos(t))+3*(4*\cos^3(t)-3*\cos(t))*(2*\cos^2(t)-1)}dt
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{2*(6*\sin^2(t)*\cos(t)-8*\sin^4(t)*\cos(t))+3*(8*\cos^5(t)-10*\cos^3(t)+3*\cos(t))}dt
[/mm]
jetzt würde ich sagen ist es an der Zeit das integral in mehrere integrale aufzuteilen...
[mm] =-\bruch{1}{2}*\left(\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{12*\sin^2(t)*\cos(t)}dt-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{16*\sin^4(t)*\cos(t))dt}+\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{24*\cos^5(t)}dt-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{30*\cos^3(t)}dt+\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{9*\cos(t))}dt\right)
[/mm]
Jetzt folgen mehrere Nebenrechnungen:
[mm] \integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{12*\sin^2(t)*\cos(t)}dt=12*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{\sin^2(t)*\cos(t)}dt=...
[/mm]
mit z=sin(t) wird dz=cos(t)dt
[mm] ...=12*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{z^2(t)}dz=4*sin^3(t)\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}
[/mm]
[mm] =-3*\sqrt{3}
[/mm]
[mm] \integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{16*\sin^4(t)*\cos(t)dt}=16*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{\sin^4(t)*\cos(t)dt}=...
[/mm]
mit z=sin(t) wird dz=cos(t)dt
[mm] ...=16*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{z^4dz}=\bruch{16}{5}*sin^5(t)\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}
[/mm]
=-3,12
[mm] \integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{24*\cos^5(t)}dt=24*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{\cos^4(t)*\cos(t)}dt=24*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{(1-sin^2(t))^2*\cos(t)}dt=...
[/mm]
mit z=sin(t) wird dz=cos(t)dt
[mm] ...=24*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{(1-z^2)^2}dz=24*\left(\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{1}dz-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{2*z}dz+\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{z^2}dz\right)=24*\left(z\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}-z^2\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}+\bruch{1}{3}z^3\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}\right)
[/mm]
[mm] =-30*\sqrt{3}
[/mm]
[mm] \integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{30*\cos^3(t)}dt=30*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{(1-sin^2(t))*cos(t)}dt=...
[/mm]
mit z=sin(t) wird dz=cos(t)dt
[mm] ...=30*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{(1-z^2)}dz=30*\left(\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{1}dz-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{z^2}dz\right)=30*\left(z\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}-\bruch{1}{3}*z^3\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}\right)
[/mm]
[mm] =-\bruch{45*\sqrt{3}}{2}
[/mm]
[mm] \integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{9*\cos(t))}dt=9*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{\cos(t))}dt=9*\sin(t)\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}
[/mm]
[mm] =-9*\sqrt{3}
[/mm]
Also :
[mm] -\bruch{1}{2}*\left(\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{12*\sin^2(t)*\cos(t)}dt-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{16*\sin^4(t)*\cos(t))dt}+\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{24*\cos^5(t)}dt-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{30*\cos^3(t)}dt+\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{9*\cos(t))}dt\right)
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}*\left(-3*\sqrt{3}+3,12-30*\sqrt{3}+\bruch{45*\sqrt{3}}{2}-9*\sqrt{3}\right)=15,33
[/mm]
Also muss ich mich wohl doch irgendwo verrechnet da das Ergebnis viel zu groß ist.
Habe das ganze auf Papier nochmal nachgerechnet und komme auf's selbe Ergebnis... Also muss der Fehler wohl irgendwo anders liegen? 
Gruß,
tedd
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Hallo te,
> Alles klar! Das habe ich jetzt verstanden.
>
> bleibt nur noch das Integral hmpf wobei das eigentlich nur
> rechenarbeit sein sollte:
>
> [mm]x(t)=\sin(3t)[/mm]
> [mm]\dot x(t)=3*\cos(3t)[/mm]
>
> [mm]y(t)=\cos(2t)[/mm]
> [mm]\dot y(t)=-2*\sin(2t)[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{1}{2}*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{-2*\sin(2t)*\sin(3t)-3*\cos(3t)\cos(2t)}dt[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{1}{2}*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{2*(2*\sin(t)*\cos(t))*(3*\sin(t)-4*\sin^3(t))+3*\left(4*\cos^3(t)-3*\cos(t)\right)*(\cos^2(t)-sin^2(t))}dt[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{1}{2}*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{2*(6*\sin^2(t)*\cos(t)-8*\sin^4(t)*\cos(t))+3*(4*\cos^3(t)-3*\cos(t))*(2*\cos^2(t)-1)}dt[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{1}{2}*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{2*(6*\sin^2(t)*\cos(t)-8*\sin^4(t)*\cos(t))+3*(8*\cos^5(t)-10*\cos^3(t)+3*\cos(t))}dt[/mm]
>
> jetzt würde ich sagen ist es an der Zeit das integral in
> mehrere integrale aufzuteilen...
>
> [mm]=-\bruch{1}{2}*\left(\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{12*\sin^2(t)*\cos(t)}dt-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{16*\sin^4(t)*\cos(t))dt}+\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{24*\cos^5(t)}dt-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{30*\cos^3(t)}dt+\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{9*\cos(t))}dt\right)[/mm]
>
>
> Jetzt folgen mehrere Nebenrechnungen:
>
> [mm]\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{12*\sin^2(t)*\cos(t)}dt=12*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{\sin^2(t)*\cos(t)}dt=...[/mm]
>
> mit z=sin(t) wird dz=cos(t)dt
>
> [mm]...=12*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{z^2(t)}dz=4*sin^3(t)\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}[/mm]
> [mm]=-3*\sqrt{3}[/mm]
>
>
>
> [mm]\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{16*\sin^4(t)*\cos(t)dt}=16*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{\sin^4(t)*\cos(t)dt}=...[/mm]
>
> mit z=sin(t) wird dz=cos(t)dt
>
> [mm]...=16*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{z^4dz}=\bruch{16}{5}*sin^5(t)\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}[/mm]
> =-3,12
>
>
> [mm]\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{24*\cos^5(t)}dt=24*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{\cos^4(t)*\cos(t)}dt=24*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{(1-sin^2(t))^2*\cos(t)}dt=...[/mm]
>
> mit z=sin(t) wird dz=cos(t)dt
>
> [mm]...=24*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{(1-z^2)^2}dz=24*\left(\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{1}dz-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{2*z}dz+\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{z^2}dz\right)=24*\left(z\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}-z^2\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}+\bruch{1}{3}z^3\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}\right)[/mm]
> [mm]=-30*\sqrt{3}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{30*\cos^3(t)}dt=30*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{(1-sin^2(t))*cos(t)}dt=...[/mm]
>
> mit z=sin(t) wird dz=cos(t)dt
>
> [mm]...=30*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{(1-z^2)}dz=30*\left(\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{1}dz-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{z^2}dz\right)=30*\left(z\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}-\bruch{1}{3}*z^3\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}\right)[/mm]
> [mm]=-\bruch{45*\sqrt{3}}{2}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{9*\cos(t))}dt=9*\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{\cos(t))}dt=9*\sin(t)\vline_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}[/mm]
> [mm]=-9*\sqrt{3}[/mm]
>
>
>
>
> Also :
>
> [mm]-\bruch{1}{2}*\left(\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{12*\sin^2(t)*\cos(t)}dt-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{16*\sin^4(t)*\cos(t))dt}+\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{24*\cos^5(t)}dt-\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{30*\cos^3(t)}dt+\integral_{\bruch{2*\pi}{3}}^{\bruch{4*\pi}{3}}{9*\cos(t))}dt\right)[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{1}{2}*\left(-3*\sqrt{3}+3,12-30*\sqrt{3}+\bruch{45*\sqrt{3}}{2}-9*\sqrt{3}\right)=15,33[/mm]
>
> Also muss ich mich wohl doch irgendwo verrechnet da das
> Ergebnis viel zu groß ist.
>
> Habe das ganze auf Papier nochmal nachgerechnet und komme
> auf's selbe Ergebnis... Also muss der Fehler wohl irgendwo
> anders liegen?
Du tust Dich leichter, wenn Du zuerst den Integranden
mit Hilfe der Additionstheoreme anders schreibst:
[mm]-2*\sin(2t)*\sin(3t)-3*\cos(3t)\cos(2t)=A*\cos\left(3t+2t)+B*\cos\left(3t-2t)[/mm]
>
> Gruß,
> tedd
>
Gruß
MathePower
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> Für die Flächenberechnung ist es nun wohl wichtig,
> ein Parameterintervall so auszuwählen, dass das
> Flächenstück, das wirklich zum Flächeninhalt der
> geschlossenen Figur beiträgt, genau einmal, und
> wenn möglich im Uhrzeigersinn, komplett umrun-
> det wird. Ich habe die "interessanten" parame-
> trisierten Kurvenpunkte (Start/Hochpunkt, Extrem-
> punkte links und rechts (und unten), Kreuzungspunkt)
> der Reihe nach O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z bezeichnet -
> es geht gerade so schön auf mit dem Alphabet ...).
> Dann sollte der Abschnitt von S (Kreuzungspunkt
> über T,U,V bis W (wieder im Kreuzungspunkt)
> gerade passen. t also von [mm]\bruch{2\pi}{3}[/mm] bis
> [mm]\bruch{4\pi}{3}[/mm] laufen lassen !
> also von [mm]\bruch{2\pi}{3}[/mm] bis
> [mm]\bruch{4\pi}{3}[/mm] laufen lassen
rechnerisch komm ich durch die bedingung t1 < t2 & x(t1) = x(t2) & y(t1) = y(t2) nicht auf deine lösung/ansatz
[mm] x(t_1) [/mm] = [mm] sin(3t_1)
[/mm]
[mm] x(t_2) [/mm] = [mm] sin(3t_2)
[/mm]
[mm] x(t_1) [/mm] = [mm] x(t_2)
[/mm]
[mm] \gdw sin(3t_1) [/mm] = [mm] sin(3t_2) [/mm] | arcsin...
[mm] \gdw 3t_1 [/mm] = [mm] 3t_2 +k2\pi \wedge 3t_1 [/mm] = [mm] \pi [/mm] - [mm] 3t_2 +k2\pi [/mm] | :3
[mm] \gdw t_1 [/mm] = [mm] t_2 [/mm] + [mm] \bruch{k2\pi}{3} \wedge t_1 [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{3}-t2 [/mm] + [mm] \bruch{k2\pi}{3} [/mm] und das dann jeweils für [mm] t_1 [/mm] einsetzen in
[mm] y(t_1) [/mm] = [mm] y(t_2)
[/mm]
ist die rechnung bis dahin überhaupt noch richtig? oder wie verfährt man mit den [mm] 2k\pi? [/mm] oder löst man es ganz anders auf?
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> > Für die Flächenberechnung ist es nun wichtig,
> > ein Parameterintervall so auszuwählen, dass das
> > Flächenstück, das wirklich zum Flächeninhalt der
> > geschlossenen Figur beiträgt, genau einmal, und
> > wenn möglich im Uhrzeigersinn, komplett umrun-
> > det wird.
> > ..... t also von [mm]\bruch{2\pi}{3}[/mm] bis [mm]\bruch{4\pi}{3}[/mm] laufen lassen !
> rechnerisch komm ich durch die bedingung t1 < t2 & x(t1) =
> x(t2) & y(t1) = y(t2) nicht auf deine lösung/ansatz
>
> [mm]x(t_1)[/mm] = [mm]sin(3t_1)[/mm]
> [mm]x(t_2)[/mm] = [mm]sin(3t_2)[/mm]
> [mm]x(t_1)[/mm] = [mm]x(t_2)[/mm]
> [mm]\gdw sin(3t_1)[/mm] = [mm]sin(3t_2)[/mm] | arcsin...
> [mm]\gdw 3t_1[/mm] = [mm]3t_2 +k2\pi \wedge 3t_1[/mm] = [mm]\pi[/mm] - [mm]3t_2 +k2\pi[/mm]
> | :3
> [mm]\gdw t_1[/mm] = [mm]t_2[/mm] + [mm]\bruch{k2\pi}{3} \wedge t_1[/mm] =
> [mm]\bruch{\pi}{3}-t2[/mm] + [mm]\bruch{k2\pi}{3}[/mm] und das dann jeweils
> für [mm]t_1[/mm] einsetzen in
> [mm]y(t_1)[/mm] = [mm]y(t_2)[/mm]
> ist die rechnung bis dahin überhaupt noch richtig? oder
> wie verfährt man mit den [mm]2k\pi?[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oder löst man es ganz
> anders auf?
Hallo,
um die an sich (unendlich) vielen Lösungen der
Gleichung x(t)=0 braucht man sich gar nicht
mehr zu kümmern, wenn man einmal ein bestimmtes
t- Intervall ausgemacht hat, für welches das zu
berechnende Flächenstück exakt einmal umrundet wird.
Zu diesem Zweck sind so altertümliche Methoden
wie die Erstellung einer Wertetabelle für t, x(t), y(t)
und das Zeichnen (Punkt für Punkt) der Kurve gar nicht
so abwegig, wie man dies im Zeitalter der grafischen
Taschenrechner halten könnte.
Und dann gilt für den Inhalt A des Flächenstücks:
$\ A\ =\ \bruch{1}{2}*\integral_{t_1}^{t_2}(x(t)*\dot{y}(t)-y(t)*\dot{x}(t}))\,dt$
(hinter dieser Formel stecken geometrische Über-
legungen, die auch einen kleinen Exkurs wert wären)
Es kommt ein Flächeninhalt etwas über 2 heraus.
LG Al-Chw.
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