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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Do 07.02.2008 | | Autor: | Moelle |
| Aufgabe | Gesucht ist die Fläche:
x²+y² [mm] \ge [/mm] 4 und y=x mit 1,4142 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 für y [mm] \ge [/mm] 0
welche durch ein einziges doppeltes Integral zu berechnen ist und bei welchem das innere Integral, ein Integral nach x ist. |
Hallo alle zusammen!
Also wenn man sich das aufzeichnet hat man einen Kries mit Radius 2 und eine Funktion y=x welche den Kreis in x= 1,4142 schneidet.
Gesucht ist die Fläche auserhalb des Kreises, unterhalb der Funktion y=x und zwische 1,4142 und 2.
Aufgezeichnet ergibt das eine Art Dreieck bei welchem eine Seite durch den Kreis bestimmt wird, eine Seite (oben) durch die Funktion y=x und eine Seite durch x=2.
Also mein Problem ist, das Integral mit x zu finden, ich selbst schaffe es nur wie folgt:
[mm] \integral_{1,4142}^{2}{\integral_{\wurzel{4-x²}}^{x}{1 dy} dx} [/mm] = 0,4292
Dieses Ergebnis ist richtig, jedoch ist der Rechenweg falsch.
Wie könnte ich das ganze jetzt mit x innen lösen? Ich habe folgendes versucht:
[mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{\wurzel{4-y^2}}^{y}{f(x) dx} dy} [/mm] = -1,141
Das ist leider falsch, ich verstehe jedoch nicht wieso, y verläuft zwischen 0 und 2 (Schnittpunkt von y=x und x=2) und die Funktion x wird durch y und dem Kreisbogen beschränkt.
Bitte um Hilfe!
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Meiner Meinung nach ist das so ein typisches Integral, dass sich zwar nach x mit einem Integral ausdrücken lässt, nach y allerdings muss man es in zwei Integrale aufteilen.
So würde ich ein Integral von y = 0 bis y = [mm] \wurzel{2} [/mm] gehen lassen (Das die Kreisbahnfläche auswertet) und ein Integral y = [mm] \wurzel{2} [/mm] bis y = 2 (Das die Dreiecksfläche auswertet).
Dann sind die Grenzen wie folgt:
A = [mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}}{\integral_{\wurzel{4-y^{2}}}^{2}{1 dx} dy} [/mm] + [mm] \integral_{\wurzel{2}}^{2}{\integral_{y}^{2}{1 dx} dy}
[/mm]
Bei deiner Aufgabe ist ja lediglich gefordert, dass der innere Teil ein Integral nach x sein muss (und damit der äußere Teil logischerweise nach y).
Auf jeden Fall kommt bei der obigen Fläche A = 0.4292 raus.
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