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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Do 07.10.2010 | | Autor: | starik |
| Aufgabe | | [mm] f(\bigcup_{i=1}^{I}S_{i})=\bigcup_{i=1}^{I}f(S_{i}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Gemeinde,
habe als Hausaufgabe folgende Aufg. zu lösen und komme einfach nicht weiter.
Die Aufgabe ist: [mm] f(\bigcup_{i=1}^{I}S_{i})=\bigcup_{i=1}^{I}f(S_{i})
[/mm]
Meine Vorgehensweise wäre erst zu zeigen, dass [mm] f(\bigcup_{i=1}^{I}S_{i})\subseteq \bigcup_{i=1}^{I}f(S_{i})
[/mm]
was stimmt da [mm] f(S_{i})\subseteq f(\bigcup_{i=1}^{I}S_{i}) [/mm] für alle i aus I per Definition.
Dann komme ich aber nicht weiter, mir fehlt die Intuition (ist mein erster Beweis)...
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo starik,
> [mm]f(\bigcup_{i=1}^{I}S_{i})=\bigcup_{i=1}^{I}f(S_{i})[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Liebe Gemeinde,
>
> habe als Hausaufgabe folgende Aufg. zu lösen und komme
> einfach nicht weiter.
> Die Aufgabe ist:
> [mm]f(\bigcup_{i=1}^{I}S_{i})=\bigcup_{i=1}^{I}f(S_{i})[/mm]
Du solltest dazu sagen, wie f definiert ist, was die [mm]S_i[/mm] sind ... - sprich: den GENAUEN Aufgabentext wiedergeben.
Außerdem ist das eine komische Schreibweise: eher [mm]f\left(\bigcup\limits_{i\in I}S_i\right) \ = \ \bigcup\limits_{i\in I}f(S_i)[/mm]
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> Meine Vorgehensweise wäre erst zu zeigen, dass
> [mm]f(\bigcup_{i=1}^{I}S_{i})\subseteq \bigcup_{i=1}^{I}f(S_{i})[/mm]
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> was stimmt da [mm]f(S_{i})\subseteq f(\bigcup_{i=1}^{I}S_{i})[/mm]
> für alle i aus I per Definition.
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> Dann komme ich aber nicht weiter, mir fehlt die Intuition
> (ist mein erster Beweis)...
Gerade zu Beginn solltest du dich genauestens an die Definitionen halten.
Die Idee, beide Mengeninklusionen zu zeigen, ist gut!
Zuerst [mm]\subset[/mm]
Zu zeigen ist, dass ein beliebiges [mm]y\in f\left(\bigcup\limits_{i\in I}S_i\right)[/mm] gefälligst auch in [mm]\bigcup\limits_{i\in I}f(S_i)[/mm] ist
Machen wir das:
Sei also [mm]y\in f\left(\bigcup\limits_{i\in I}S_i\right)[/mm] beliebig
[mm]\Rightarrow \exists x\in \bigcup\limits_{i\in I}S_i \ : \ f(x)=y[/mm]
Und wenn [mm]x[/mm] in der Vereinigung all dieser [mm]S_i[/mm] liegt, so liegt es wenigstens in einem der [mm]S_i[/mm], also
[mm]\Rightarrow \exists j\in I \ : \ x\in S_j[/mm]
[mm]\Rightarrow f(x)=y\in f(S_j)[/mm]
Also liegt y in einem der [mm]f(S_i)[/mm], nämlich in [mm] $f(S_j)$, [/mm] damit auch in der Vereinigung aller, dh.
[mm]\Rightarrow y\in\bigcup\limits_{i\in I}f(S_i)[/mm]
So in etwa ist das gemeint, nun versuche mal die andere Inklusion [mm]\supset[/mm] (auch möglichst an die Definitionen halten ...)
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
Gruß
schachuzipus
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