Fkt. für rollenden Ball < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Ball mit Radius R liegt auf dem Ursprung der xy-Ebene. Der Auflagepunkt wird
auf dem Ball durch einen roten Punkt markiert. Jetzt rollen wir den Ball solange in
die Richtung (1, 1), bis der Ball eine komplette Drehung vollführt hat.
a) Beschreiben Sie die Kurve, entlang der sich der rote Punkt im Raum bewegt hat.
b) Berechnen Sie die durchschnittliche Höohe, die der rote Punkt während seiner
Bewegung im Raum über der xy-Ebene hatte.
c) Berechnen Sie für den Weg w aus Aufgabenteil (a) und die Funktion f(x, y, z) =R-z das Kurvenintegral [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(w(t))*|w'(t)| dx} [/mm] |
ok also erstmal die a.
ich stelle mir das ganze in x-y darstellung vor, dann hat man einen vektor von (0,0,0) nach (1,1,0), sprich [mm] t->\vektor{t \\ t \\ 0} [/mm] für 0<t<1
dann in der x-z-ebene: [mm] t->\vektor{-rsint \\ 0 \\ r*(1-cost)}, [/mm]
denn t=0 => (0,0,0)
[mm] t=\pi/2=>(-r,0,r)
[/mm]
[mm] t=\pi=> [/mm] (0,0,2r)
[mm] t=(3\pi)/2=> [/mm] (r,0,r), für [mm] 0>t>2\pi
[/mm]
denke das das stimmt aber wäre nett wenn ihr noch mal überprüfen könntet.
und dann noch in y-z richtung: t-> [mm] \vektor{0 \\ t \\ 0)}
[/mm]
für 0<t<1
ok wenn das soweit stimmen sollte, muss ich jetzt aus allen 3 eine fkt machen, jedoch bin ich mir nicht wirklich sicher wie ich das machen soll.
wenn ich mit frage b angucke, würde ich einfach sagen die durchschnittliche höhe ist [mm] \pi [/mm] oder? am anfang und am ende 0 hoch und in der mitte [mm] 2\pi, [/mm] aber ist wohl etwas zu einfach gedacht. was muss ich also integrieren für den durchschnittwert?
denke die c bekomm ich hin, wenn ich a richtig habe.
VIELEN DANK!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mo 02.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich bin mit deiner Beschreibung der Kurve nicht einverstanden!
Du beschreibst richtig die Bewegung des Balls, wenn er auf der x-Achse rollte.
Allerdings würd ich die Bewegung des Mittelpunktes dann als
[mm] M=\vektor{t \\ 0\\ R} [/mm] beschreiben, wenn er mit der Geschw. 1 sich bewegt. dazu dann die kreisbewegung um M mit [mm] K=\vektor{R*cos(t/R )\\ 0 \\R*sin(t/R)}
[/mm]
und C=M+K
Damit es nun auf der Geraden [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 0)} [/mm] läuft musst du noch um die z- Achse um 45° bzw [mm] \pi/4 [/mm] drehen.
[mm] Drehmatrix:\pmat{ cos45 & -sin45 & 0 \\ sin45 & cos45 & 0\\ 0& 0 & 0 }
[/mm]
Was man als durchschnittliche höhe bezeichnet ist etwas unklar, eigentlich wohl Integral z(t) von 0 bis [mm] t=2\pi/R [/mm] dividiert durch die Zeit.
Deine Höhe [mm] 2\pi [/mm] in der Mitte ist sicher falsch, die größte Höhe ist 2R
Gruss leduart
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danke erstmal werd mich da morgen mit deiner lösung noch mal reindenken
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