Fkt. als Potenzreihe darst. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Fr 24.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
Soll
a) als Potenzreihe geschrieben werden
b) für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist diese Darstellung gültig
c) [mm] a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} [/mm] berechnen |
Zu a)
f(x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(0)}{k!} \* x^{k}
[/mm]
Erläuterung [mm] f^{(k)}(0) [/mm] soll k-te Ableitung von f an der Stelle 0 bedeuten, ich weiß nicht ob man das hier im Forum so schreibt, wenn nicht wäre ein hinweis wie es richtig ist nett.
Bei mir also
f(x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{1-x^{2}}}{k!} \* x^{k}
[/mm]
Ist das soweit schonmal richtig?
Zu b) ich habe keine Ahnung was ich hier machen muss
Zu c)
f(0) = [mm] a_{0}, f^{|}(0) [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] , [mm] \bruch{f^{||}(0)}{2} [/mm] = [mm] a_{2}, \bruch{f^{|||}(0)}{3!} [/mm] = [mm] a_{3}, \bruch{f^{||||}(0)}{4!} [/mm] = [mm] a_{4}
[/mm]
Soweit richtig? und wenn ja muss ich dann erst die Ableitungen bilden inkl. der variablen oder kann ich direkt 0 für die Variable einsetzen und dann Ableiten?
Gruß
Ganzir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Fr 24.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> f(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
>
> Soll
> a) als Potenzreihe geschrieben werden
> b) für welche x [mm]\in \IR[/mm] ist diese Darstellung gültig
> c) [mm]a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}[/mm] berechnen
> Zu a)
>
> f(x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(0)}{k!} \* x^{k}[/mm]
Das ist richtig die Taylorreihe mit Entwicklungspkt 0, die kte Ableitung schreibt man immer so, auch bei uns.
> Erläuterung [mm]f^{(k)}(0)[/mm] soll k-te Ableitung von f an der
> Stelle 0 bedeuten, ich weiß nicht ob man das hier im Forum
> so schreibt, wenn nicht wäre ein hinweis wie es richtig ist
> nett.
>
> Bei mir also
>
> f(x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{1-x^{2}}}{k!} \* x^{k}[/mm]
Was soll hier jetzt die Wurzel in der Summe, da stehen doch die Ableitungen und zwar an der Stelle 0.
> Ist das soweit schonmal richtig?
Nein.
a) entweder berechnest du die ersten paar Ableitungen, oder du weisst, dass [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm] die Ableitung von arcsin(x) ist, kennst die Reihe dafuer und differenzierst sie.
> Zu b) ich habe keine Ahnung was ich hier machen muss
Den Konvergenzradius der gefundenen Reihe finden.
> Zu c)
>
> f(0) = [mm]a_{0}, f^{|}(0)[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] , [mm]\bruch{f^{||}(0)}{2}[/mm] =
> [mm]a_{2}, \bruch{f^{|||}(0)}{3!}[/mm] = [mm]a_{3}, \bruch{f^{||||}(0)}{4!}[/mm]
> = [mm]a_{4}[/mm]
>
> Soweit richtig? und wenn ja muss ich dann erst die
> Ableitungen bilden inkl. der variablen oder kann ich direkt
> 0 für die Variable einsetzen und dann Ableiten?
Wie willst du eine Ableitung bilden, wenn du keine Variable hast? Natuerlich musst du f(x) ableiten und dann 0 einsetzen.
Ich verstehe allerdings c) nicht, weil du das ja eigentlich schon bei a und b brauchst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Fr 24.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich verstehe allerdings c) nicht, weil du das ja eigentlich
> schon bei a und b brauchst.
Vielleicht ist es so gedacht, dass in a) eine allgemeine Formel fuer [mm] $a_k$ [/mm] angegeben werden soll und in c) diese dann fuer $k [mm] \in \{ 0, \dots, 5 \}$ [/mm] ausgewertet werden soll -- dann kann man sehr schnell vergleichen ob die dort ermittelten Werte mit den richtigen Werten uebereinstimmen, auch wenn die Formel bei a) voellig anders aussieht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Fr 24.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | entweder berechnest du die ersten paar Ableitungen, oder du weisst, dass $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] $ die Ableitung von arcsin(x) ist, kennst die Reihe dafuer und differenzierst sie. |
Das ist ein sehr interessanter Hinsweis auf den ich nie im Leben selbst gekommen wäre, könntest du etwas erläutern, was du mit "die Reihe dafür kennen" meinst?
evtl. ist mit c gemeinst, dass ich die ersten 6 Reihen-Glieder angeben soll.
Was mir auch nicht klar ist, ist wie ermittle ich denn jetzt konkret [mm] a_{k} [/mm] ?
Ich weiß, dass f(0) = [mm] a_{0} [/mm] ist also ist [mm] a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-0^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1
So aber nun könnte mann auch [mm] a_{1} [/mm] usw. berechnen aber das bringt mich einem allgemeinen Ausdruck für [mm] a_{k} [/mm] doch überhaupt nicht näher.
Wie gelange ich denn nun an diesen?
[mm] a_{1} [/mm] müsste also folgendes sein:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] = (1 - [mm] x^{2})^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
((1 - [mm] x^{2})^{\bruch{-1}{2}})^{|} [/mm] = [mm] {\bruch{-1}{2}} \* [/mm] (1 - [mm] x^{2})^{\bruch{-3}{2}} \* [/mm] (-2x)
Also (1 - [mm] x^{2})^{\bruch{-3}{2}} \* [/mm] (x)
Kann ich hier irgendwas machen um noch weiter zu vereinfachen? Das noch 4 mal ableiten resultiert doch in einem riesigen Term oder irre ich mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es bleibt dir, wenn ihr arcsin Reihe nicht hattet nichts anderes uebrig, als brav Ableitungen auszurechnen und 0 einzusetzen.
Es sei denn du kennst die allgemeine Reihe "binomische Reihe" fuer [mm] (1+x)^r [/mm] da kannst du statt x einfach [mm] x^2 [/mm] einsetzen.
Wie man ohne die Reihe zu kennen allerdings die Konvergenz zeigen soll weiss ich auch nicht. Du solltest nachsehen, welche Reihen iHr schon in der Vorlesung gemacht habt.
zur Kontrolle findest du die arcsin Reihe und die bin. Reihe in wiki.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Sa 25.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | wenn ihr arcsin Reihe nicht hattet nichts anderes uebrig, als brav Ableitungen auszurechnen und 0 einzusetzen. |
http://de.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskosinus
Gehen wir mal davon aus, dass ich die Reihe in einer Formelsammlung oder eben bei Wiki gefunden habe, wie gehe ich denn nun weiter vor?
Die binomische Reihe habe ich auf jedenfall schonmal gehsen.
(1 - $ [mm] x^{2})^{\bruch{-3}{2}} [/mm] * $ (x)
Ist also die erste Ableitung, welche ich mittels Kettenregel gebildet habe, wenn ich hier nun weiter ableiten will/muss weil ich irgendwelche Reihen
nicht kenne, wie gehe ich denn dan weiter vor? Nun wäre da ja die Innere die äußere und noch was dahinter? Auch wenn sich das jetzt dämlich anhört, den Fall hatte ich noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f'(x)=x*(1-x^2)^{-3/2} [/mm] musst du mit Produkt und Kettenregel ableiten.
also [mm] f''(x)=1*(1-x^2)^{-3/2}+x*(-3/2)*(-2x)*(1-x^2)^{-5/2}
[/mm]
zusammenfassen und so weitermachen.
nach der dritten kann man sich ueberlegen wies allgemein weitergeht. da man ja all die Werte , wo x als Faktor vorkommt fuer die Auswertung bei 0 nicht braucht.
Viel Spass, wenn dir differenzieren so schwer faelt ist das ja ne nuetzliche Uebung
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Sa 25.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Viel Spass, wenn dir differenzieren so schwer faelt ist das ja ne nuetzliche Uebung |
OK ich bin nun auf folgende Ergebnisse kommen, wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob die so richtig sind:
f(x) = [mm] (1-x^{2})^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
[mm] f^{|}(x) [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-3}{2}} \* [/mm] (-2x) = [mm] (1-x^{2})^{\bruch{-3}{2}} \* [/mm] x
[mm] f^{||}(x) [/mm] = 1 [mm] \* (1-x^{2})^{\bruch{-3}{2}} [/mm] + x [mm] \* \bruch{-3}{2} \* [/mm] -2x [mm] \* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} [/mm] = [mm] (1-x^{2})^{\bruch{-3}{2}} [/mm] + [mm] 3x^{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} \* [/mm] (-2x)
[mm] f^{|||}(x) [/mm] = [mm] \bruch{-3}{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} \* [/mm] -2x + 6x [mm] \* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} [/mm] + [mm] 3x^{2} \* \bruch{-5}{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}} [/mm] = 9x [mm] \* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} [/mm] - [mm] 7x^{3} \* (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}} [/mm]
[mm] f^{(4)}(x) [/mm] = 9 [mm] \* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} [/mm] + 9x [mm] \* \bruch{-5}{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}} [/mm]
[mm] \* [/mm] (-x) - [mm] 21x^{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}} [/mm] + [mm] (-7x^{3} \* \bruch{-7}{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-9}{2}} \* [/mm] (-2x) = 9 [mm] \* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} [/mm] + [mm] 24x^{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{49}{2} x^{4} \* (1-x^{2})^{\bruch{-9}{2}}
[/mm]
[mm] f^{(5)}(x) [/mm] = [mm] (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} [/mm] + 45x [mm] \* (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}} [/mm] + 48x [mm] \* (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}} [/mm] + 24x² [mm] \* \bruch{-7}{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-9}{2}} \* [/mm] -2x - [mm] 98x^{3} \* (1-x^{2})^{\bruch{-9}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{49}{2}x^{4} \* \bruch{-9}{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-11}{2}} \* [/mm] -2x
= [mm] (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} [/mm] + 93x [mm] \* (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}} [/mm] + 168x [mm] \* (1-x^{2})^{\bruch{-9}{2}} [/mm] - [mm] 98x^{3} \* (1-x^{2})^{\bruch{-9}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{441}{2}x^{5} \* (1-x^{2})^{\bruch{-11}{2}}
[/mm]
Mal angenommen ich habe mich nicht verrechnet, kann ich nun die ableitungen noch durch die entsprechenden Fakultäten teilen und dann habe ich [mm] a_{0} [/mm] bis [mm] a_{5} [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> OK ich bin nun auf folgende Ergebnisse kommen, wäre nett
> wenn mir jemand sagen könnte ob die so richtig sind:
>
> f(x) = [mm](1-x^{2})^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
> [mm]f^{|}(x)[/mm] = [mm]\bruch{-1}{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-3}{2}} \*[/mm]
> (-2x) = [mm](1-x^{2})^{\bruch{-3}{2}} \*[/mm] x
richtig
> [mm]f^{||}(x)[/mm] = 1 [mm]\* (1-x^{2})^{\bruch{-3}{2}}[/mm] + x [mm]\* \bruch{-3}{2} \*[/mm]
> -2x [mm]\* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}}[/mm] =
> [mm](1-x^{2})^{\bruch{-3}{2}}[/mm] + [mm]3x^{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} \*[/mm]
> (-2x)
>
> [mm]f^{|||}(x)[/mm] = [mm]\bruch{-3}{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} \*[/mm]
> -2x + 6x [mm]\* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}}[/mm] + [mm]3x^{2} \* \bruch{-5}{2} \* (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}}[/mm] *(-2x)
> = 9x [mm]\* (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}}[/mm] - 7[mm]x^{3} \* (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}}[/mm]
bis dahin hab ichs durchgesehen. falsches rot, fehlendes gruen ergaenzt.
Den Rest mit den Fehlern durchzusehen ist ja nicht sehr sinnvoll .
du hast im Prinzip keine schwierigkeiten mit dem differenzieren, aber mit der Fluechtigkeit, setz dein Rechentempo 10% runter, die Konzentration 100% rauf, dann klappts.
Wenn du alles richtig hast , x=0 einsetzen, durch die entspr. fakultaet teilen, dann hast du deine Loesungen. vergleich mit der differenzierten Reihe von arcsin in wiki.
[mm] (f^{(5)} [/mm] etwa musst du ja nicht mehr vollstaendig ausrechnen, alles bei dem mind [mm] x^2 [/mm] steht behaelt ja ein x und wird deshalb beim einsetzen 0 )
> Mal angenommen ich habe mich nicht verrechnet, kann ich nun
> die ableitungen noch durch die entsprechenden Fakultäten
> teilen und dann habe ich [mm]a_{0}[/mm] bis [mm]a_{5}[/mm] oder?
Ja. aber erst 0 einsetzen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Sa 25.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Du hast im Prinzip keine schwierigkeiten mit dem differenzieren, aber mit der Fluechtigkeit ... |
Ja Flüchtigkeit verfolgt mich seit der Grundschule :) .... mir ist selbst beim durchschauen aufgefallen, dass da war nicht stimmen kann. Also hab ich nochmal nachgerechnet, nachfolgend nur die Endergebnisse, ich hoffe die stimmt jetzt:
f(x) = $ [mm] (1-x^{2})^{\bruch{-1}{2}} [/mm] $
[mm] f^{|}(x) [/mm] = [mm] (1-x^{2})^{\bruch{-3}{2}} [/mm] * x
[mm] f^{||}(x) [/mm] = [mm] (1-x^{2})^{\bruch{-3}{2}} [/mm] + [mm] 3x^{2} (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}}
[/mm]
[mm] f^{|||}(x) [/mm] = 9x [mm] (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} [/mm] + [mm] 15x^{3}(1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}}
[/mm]
[mm] f^{(4)}(x) [/mm] = 9 [mm] (1-x^{2})^{\bruch{-5}{2}} [/mm] + [mm] 90x^{2} (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}} [/mm] + [mm] 105x^{4}(1-x^{2})^{\bruch{-9}{2}}
[/mm]
[mm] f^{(5)}(x) [/mm] = 225x [mm] (1-x^{2})^{\bruch{-7}{2}} [/mm] + [mm] 1050x^{3} (1-x^{2})^{\bruch{-9}{2}} [/mm] + [mm] 945x^{5}(1-x^{2})^{\bruch{-11}{2}}
[/mm]
Könnte das stimmen?
Wenn ja dann:
[mm] a_{0} [/mm] = 1
[mm] a_{1} [/mm] = 0
[mm] a_{2} [/mm] = 2
[mm] a_{3} [/mm] = 0
[mm] a_{4} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] a_{5} [/mm] = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 4 te Ableitung ist noch richtig, ie 5 te hat glaub ich z.T also bei [mm] x^3 [/mm] den falschen Zahlenfaktor, aber =0 ist richtig. Ist dir klar, warum alle ungeraden abl. verschwinden muessen?
die [mm] a_i [/mm] sind richtig.
( in der Schule sind Leichtsinnsfehler eben einfach so da. Bei nem fertigen Naturwissenschaftler aber verhaengnisvoll, da koennen dann leben davon abhaengen, sies in nem flugzeug oder Autoteil, seis in nem AKW und das sind nur die schlimmsten. also werd besser. jede Rechnung doppelt rechnen. (ohne auf die erste zu sehen. Wenn 2 nicht uebereinstimmen noch mal doppelt rechnen!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 25.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | die 5 te hat glaub ich z.T also bei $ [mm] x^3 [/mm] $ den falschen Zahlenfaktor |
Also wenn ich die Funktion hier ableiten lasse kommt [mm] 1050x^3 [/mm] dabei raus.
http://www.mathe-online.at/Mathematica/
Ne mir ist nicht klar warum alle ungraden Ableitungen verschwinden müssen, aber mir ist bei diesen Aufgaben so einiges nicht klar .... nun gut wie dem auch sei, ich habe die [mm] a_{i}s [/mm] ausgerechnet. Wie schreibe ich die Funktion denn nun als Potenzreihe? Sobald mir das gelungen ist, kann ich dann ja den Kovergenzradius bestimmen.
Muss ich jetzt sowas dahin schreiben?
f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] = [mm] x^{k} [/mm] + 2 [mm] x^{k} [/mm] + [mm] \bruch{3}{8} x^{k} [/mm] ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die ks haben doch Namen.
ich wuerde schreiben: 5 tes Taylorpol. zu f(x)=..
ist [mm] T(x)=a_0+a_2x^2+a_4x^4+0*x^5
[/mm]
Zahlen fuer die [mm] a_i [/mm] eintragen.
Deine fkt ist gerade, d.h. f(x)=f(-x)
Dann muss ja wohl auch die TR gerade sein. Deshalb nur gerade Exp.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Sa 25.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] T(x)=a_0+a_2x^2+a_4x^4+0\cdot{}x^5 [/mm] $ |
OK damit habe ich nun die Funktion als Potenzreihe dargestellt, zumindest als den Teil einer Potenzreihe bis zum 5. Glied. Den Konvergenzradius um eine Aussage darüber treffen zu können für welche x [mm] \in \IR [/mm] diese Darstellung gilt, kann ich trotzdem noch nicht machen oder sehe ich nur den "Trick" mal wieder nicht?
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Hallo!
Aus der Darstellung mit den ersten 5 Gliedern wirst du die Aufgabe b), d.h. für welche x die Darstellung gültig ist, nicht lösen können. Du musst nochmal zu a) zurück und dir genau überlegen, wie die einzelnen Glieder der Potenzreihe entstehen und eine allgemeine Bildungsvorschrift herausfinden:
Die Ableitungen zu untersuchen ist da relativ schwierig. Deswegen gibt es tatsächlich einen "Trick": Schreibe
$f(x) = [mm] (1-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}$
[/mm]
mit den Substitutionen $t = [mm] -x^{2}$ [/mm] und [mm] $\alpha [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] zu
[mm] $(1+t)^{\alpha}$
[/mm]
um. Es gilt
[mm] $(1+t)^{\alpha} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{\alpha\\ k}*t^{k}$
[/mm]
nach dem binomischen Satz. Nun schreibe die Reihe für [mm] $\alpha [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] entsprechend um. Dann kannst du loslegen mit dem analysieren 
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Sa 25.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] (1+t)^{\alpha} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{\alpha\\ k}\cdot{}t^{k} [/mm] $ |
Also [mm] \vektor{\bruch{-1}{2} \\k }
[/mm]
Wäre also [mm] \bruch{\bruch{-1}{2}!}{k! (\bruch{-1}{2}- k!)}
[/mm]
Aber ich kann von einem Bruch doch kein Fakultät bilden oder meinstest du etwas anderes?
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> [mm](1+t)^{\alpha} = \summe_{k=0}^{n}\vektor{\alpha\\ k}\cdot{}t^{k}[/mm]
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> Also [mm]\vektor{\bruch{-1}{2} \\k }[/mm]
>
> Wäre also [mm]\bruch{\bruch{-1}{2}!}{k! (\bruch{-1}{2}- k!)}[/mm]
Hallo!
Diese Umschreibung für den Binomialkoeffizienten gilt nur falls beide Zahlen natürlich sind, denn, du hast Recht, die Fakultät von Brüchen kann man nicht berechnen.
Du kannst aber über die Definition des Binomialkoeffizienten
[mm] $\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{k}\bruch{n+1-j}{j}$
[/mm]
eine gültige Umformung machen. Letztendlich ist es auch gar nicht so wichtig, was die rechte Seite für einen Wert hat, du brauchst das Produkt nur zum Auswerten des Konvergenzradius.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 So 26.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{k}\bruch{n+1-j}{j} [/mm] $ |
In meinem Fall also [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{\bruch{-1}{2} + 1 - j}{j}
[/mm]
Ein vorweg ich habe noch nie mit Produkten dieser Form gearbeitet, daher bitte nicht böse sein, wenn jetzt wieder ein Haufen "dummer" Fragen folgt.
Was ist denn mein k in dem oben genannten Produkt? in meiner Summe war es ja [mm] \summe_{k=0}^{\infty}. [/mm] Wenn das bei diesem Produkt jetzt auch so sein muss, dann läuft das Produkt ja auch gegen [mm] \infty [/mm] und ich habe [mm] \infty [/mm] viele Faktoren.... oder ich sehe die Vereinfachung mal wieder nicht, wäre ja nicht das erste mal. Oder muss ich hier für k = 5 einsetzen weil ich nur die ersten 5 [mm] a_{k} [/mm] berechnet habe oder ist es noch was anderes?
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Hallo!
Es geht darum, dass du jetzt deine Potenzreihe darstellen kannst:
[mm] $(1-x^{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] (1+t)^{\alpha} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{\alpha\\ k}\cdot{}t^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\produkt_{j=1}^{k}\left(\bruch{-\bruch{1}{2} + 1 -j}{j}\right)\cdot{}t^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\produkt_{j=1}^{k}\left(\bruch{\bruch{1}{2} -j}{j}\right)\cdot{}t^{k} [/mm] $
D.h. die Variable k ist der Laufindex der Summe. Nun bestimme den Konvergenzradius dieser Reihe! Du hast eine Reihe der Form
[mm] $\summe_{k=1}^{n}a_{k}*x^{k}$
[/mm]
mit
[mm] $a_{k} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{k}\left(\bruch{\bruch{1}{2} -j}{j}\right)$
[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 26.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{k}\left(\bruch{\bruch{1}{2} -j}{j}\right) [/mm] $ |
OK,
nun also R = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}|
[/mm]
Nur damit ich das richtig verstehe, beduetet das in meinem Fall
R = $ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{\produkt_{j=1}^{1}\bruch{\bruch{1}{2} - j}{j}}{\produkt_{j=1}^{2}\bruch{\bruch{1}{2} - j}{j}}| [/mm] $
R = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{\bruch{1}{2} - 1}{1}}{\bruch{\bruch{1}{2} - 1}{1} \* \bruch{\bruch{1}{2} - 2}{2}}|
[/mm]
Da in diesem Ausdruck nun kein K mehr drin ist bräuchte ich das nur noch ausrechnen und hätte meinen Konvergenzradius oder habe ich hier was falsch gemacht?
Wenn ich mich nicht verrechnet habe komme ich auf einen Konvergenzradius von R = [mm] |\bruch{8}{6}|
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 So 26.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]a_{k} = \produkt_{j=1}^{k}\left(\bruch{\bruch{1}{2} -j}{j}\right)[/mm]
>
> OK,
>
> nun also R = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}|[/mm]
>
> Nur damit ich das richtig verstehe, beduetet das in meinem
> Fall
>
> R = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \left|\bruch{\produkt_{j=1}^{1}\bruch{\bruch{1}{2} - j}{j}}{\produkt_{j=1}^{2}\bruch{\bruch{1}{2} - j}{j}}\right|[/mm]
Nein, da hast du nicht richtig eingesetzt:
[mm] R= \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{\produkt_{j=1}^{k}\bruch{\bruch{1}{2} - j}{j}}{\produkt_{j=1}^{k+1}\bruch{\bruch{1}{2} - j}{j}}|[/mm]
Aber das ist geanuso leicht auszurechnen: der Unterschied zwischen Zähler und Nenner ist ja nur der Faktor mit $j=k+1$, also
[mm] R = \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{1}{\bruch{\bruch{1}{2} - (k+1)}{k+1}} \right| = \limes_{k\rightarrow\infty} \left|\bruch{k+1}{-\bruch{1}{2} -k}\right| [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 26.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ R = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{1}{\bruch{\bruch{1}{2} - (k+1)}{k+1}} \right| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \left|\bruch{k+1}{-\bruch{1}{2} -k}\right| [/mm] $ |
Vielen dank genau da hatte ich nämlich auch meine Bedenken,
$ R = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{1}{\bruch{\bruch{1}{2} - (k+1)}{k+1}} \right| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \left|\bruch{k+1}{-\bruch{1}{2} -k}\right| [/mm] $
das führt dann ja zu [mm] \bruch{\infty +1}{\bruch{-1}{2}-\infty}
[/mm]
Ist ein unbestimmter Fall also l'Hospital und ich gelange zu [mm] \bruch{1}{-1} [/mm] = -1
Also da ich Limes und Betragsstriche oben nicht mitgeschrieben habe für |1|
Richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 So 26.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig. aber schreib das nicht offiziell so $ [mm] \bruch{\infty +1}{\bruch{-1}{2}-\infty} [/mm] $
und L'Hopital braucht man hier auch nicht. dividiere Z und N durch k und dann hat man den GW direkt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 So 26.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Untersuchung der Randbereiche
t = |1| |
Wie zuvor berechnet habe ich ja nun den Konvergenzradius ermittelt und kann daher sagen, dass die Reihe für t<|1| konvergiert.
Nun muss ich ja noch die Randbereiche also t = |1| betrachten.
Dies führt mich dann ja zu:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\produkt_{j=1}^{k} \bruch{\bruch{1}{2}-j}{j} \* [/mm] 1 bzw -1
Wie lässt sich nun hierzu eine Aussage treffen, kann man schon irgendwie sehen ob des konvergiet oder divergiert oder muss ich hier nochmal ein Kriterium anwendung und wenn ja welches eignet sich dafür? Oder ist es bei Taylor-Reihen aus irgendwelchen Gründen nicht nötig den Rand zu betrachten, so dass sich generell eine Aussage treffen lässt?
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Hallo!
Eine Pauschalaussage für alle Taylor-Reihen lässt sich glaub ich nicht treffen (Diese Aussage leite ich nach Betrachten einiger Beispiele auf der Wikipedia-Seite ![[]](/images/popup.gif) Taylor-Reihe her). Also solltest du die Reihe nochmal untersuchen. Dazu kannst du doch einfach das Quotientenkriterium benutzen 
Viele Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:27 So 26.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Dazu kannst du doch einfach das Quotientenkriterium benutzen |
Das klappt aber nicht oder ich mache was falsch:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] |\bruch{b_{k+1}}{b_{k}}|
[/mm]
Wenn [mm] \lambda [/mm] > 1 [mm] \Rightarrow [/mm] divergent
Wenn [mm] \lambda [/mm] <1 [mm] \Rightarrow [/mm] konvergent
Wenn [mm] \lambda [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] keine Aussage mit diesem Kriterium möglich
Bei mir:
[mm] b_{k} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{k}\bruch{\bruch{1}{2}-j}{j} \* 1^{k}
[/mm]
Daher
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{(\bruch{\bruch{1}{2}-k+1}{k+1}\*1^{k+1})\* (\bruch{\bruch{1}{2}-k}{k}\*1^{k})}{\bruch{\bruch{1}{2}-k}{k}\*1^{k}}| [/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{(\bruch{\bruch{1}{2}-k+1}{k+1}\*1^{k+1})\* 1}{1}| [/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{2}-k+1}{k+1}|
[/mm]
l'H = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{-1}{1}| [/mm] = 1
[mm] \lamba [/mm] = 1 [mm] \rightarrow [/mm] keine Aussage mit diesem Kriterium
In einem anderen Thread hier stand auch, dass ich mit dem Quotientenkriterium immer 1 erhalten werde, wenn ich den Konvergenzradius mittel [mm] \bruch{a_{k}}{a_{k}+1} [/mm] bestimmt habe. Genau das scheint hier eingetreten zu sein und hilft mir somit nicht weiter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 28.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:32 Mo 27.04.2009 | | Autor: | felixf |
Moin!
> t = |1|
> Wie zuvor berechnet habe ich ja nun den Konvergenzradius
> ermittelt und kann daher sagen, dass die Reihe für t<|1|
> konvergiert.
>
> Nun muss ich ja noch die Randbereiche also t = |1|
> betrachten.
>
> Dies führt mich dann ja zu:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\produkt_{j=1}^{k} \bruch{\bruch{1}{2}-j}{j} \*[/mm]
> 1 bzw -1
>
> Wie lässt sich nun hierzu eine Aussage treffen, kann man
> schon irgendwie sehen ob des konvergiet oder divergiert
> oder muss ich hier nochmal ein Kriterium anwendung und wenn
> ja welches eignet sich dafür?
Kennst du das Leibnizkriterium? Das hilft dir fuer eine der beiden Seiten weiter.
Auf der anderen Seite hast du Divergenz, wenn auch nur ganz langsam (hab's mit MAPLE ueberprueft, wenn man die ersten 100.000.000 Summanden addiert hat das gerade mal den Betrag 11283.79171). Hier wuerde sich also das Minorantenkriterium anbieten (du koenntest vielleicht [mm] $|\binom{1/2}{k}| \ge [/mm] 1/k$ zeigen).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:08 Mo 27.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan,
eine kleine Anmerkung:
> [mm](1+t)^{\alpha} = \summe_{k=0}^{n}\vektor{\alpha\\ k}*t^{k}[/mm]
hier sollte die Reihe bis [mm] $\infty$ [/mm] und nicht bis $n$ gehen :)
LG Felix
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