matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-SonstigesFixpunktsatz Banach
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Fixpunktsatz Banach
Fixpunktsatz Banach < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fixpunktsatz Banach: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Mo 09.07.2012
Autor: kullinarisch

Aufgabe
Sei [mm] f:\IC\to\IC, [/mm] f(z)=z²+i/4. Finde eine Kreisscheibe, auf der f kontrahierend ist. Sei [mm] z_1=0 [/mm] und [mm] z_{n+1}=f(z_n). [/mm] Untersuche, ob die Folge [mm] (z_n) [/mm] konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Hallo zusammen. Nach dem Fixpunktsatz von Banach konvergiert die Folge [mm] (z_n) [/mm] ja genau dann gegen den Fixpunkt von f, wenn f eine Kontraktion (auf..) ist. So wie ich das verstehe, muss man sich hier selber einen Definitionsbereich D basteln, s.d. f: [mm] D\to [/mm] D eine Kontraktion ist. Wie soll man denn hier vorgehen? Soll man sich einen beliebigen Punk [mm] z_0 \in\IC [/mm] aussuchen und dann schauen, welchen Radius r man benötigt, damit f auf [mm] B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|
Mit [mm] B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|
Ich bin hier leicht überfordert. Sonst war der Definitionsbereich nämlich immer vorgegeben und die Zahlen reell...

Grüße, kulli

        
Bezug
Fixpunktsatz Banach: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Mo 09.07.2012
Autor: fred97


> Sei [mm]f:\IC\to\IC,[/mm] f(z)=z²+i/4. Finde eine Kreisscheibe, auf
> der f kontrahierend ist. Sei [mm]z_1=0[/mm] und [mm]z_{n+1}=f(z_n).[/mm]
> Untersuche, ob die Folge [mm](z_n)[/mm] konvergiert, und bestimme
> gegebenenfalls den Grenzwert.
>  Hallo zusammen. Nach dem Fixpunktsatz von Banach
> konvergiert die Folge [mm](z_n)[/mm] ja genau dann gegen den
> Fixpunkt von f, wenn f eine Kontraktion (auf..) ist. So wie
> ich das verstehe, muss man sich hier selber einen
> Definitionsbereich D basteln, s.d. f: [mm]D\to[/mm] D eine
> Kontraktion ist.

Dabei sollte D abgeschlossen sein !


> Wie soll man denn hier vorgehen? Soll man
> sich einen beliebigen Punk [mm]z_0 \in\IC[/mm] aussuchen und dann
> schauen, welchen Radius r man benötigt, damit f auf
> [mm]B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|


Oben ist doch vom [mm] z_1=0 [/mm] die Rede. Daher würde ich für D eine abgeschlossene Kreisscheibe um 0 mit Radius r nehmen.

Wie kommt man zu r ?

So:

Für z,w [mm] \in [/mm] D ist

        $  [mm] |f(z)-f(w)|=|z^2-w^2|=|z+w|*|z-w| \le [/mm] (|z|+|w|)*|z-w| [mm] \le [/mm] 2r|z-w|$.

Machts klick ?

FRED

>  
> Mit [mm]B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|
> den Punkt [mm]z_0[/mm] mit Radius r.
>
> Ich bin hier leicht überfordert. Sonst war der
> Definitionsbereich nämlich immer vorgegeben und die Zahlen
> reell...
>  
> Grüße, kulli


Bezug
                
Bezug
Fixpunktsatz Banach: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:26 Mo 09.07.2012
Autor: kullinarisch


> > Sei [mm]f:\IC\to\IC,[/mm] f(z)=z²+i/4. Finde eine Kreisscheibe, auf
> > der f kontrahierend ist. Sei [mm]z_1=0[/mm] und [mm]z_{n+1}=f(z_n).[/mm]
> > Untersuche, ob die Folge [mm](z_n)[/mm] konvergiert, und bestimme
> > gegebenenfalls den Grenzwert.
>  >  Hallo zusammen. Nach dem Fixpunktsatz von Banach
> > konvergiert die Folge [mm](z_n)[/mm] ja genau dann gegen den
> > Fixpunkt von f, wenn f eine Kontraktion (auf..) ist. So wie
> > ich das verstehe, muss man sich hier selber einen
> > Definitionsbereich D basteln, s.d. f: [mm]D\to[/mm] D eine
> > Kontraktion ist.
>
> Dabei sollt D abgeschlossen sein !
>  
>
> > Wie soll man denn hier vorgehen? Soll man
> > sich einen beliebigen Punk [mm]z_0 \in\IC[/mm] aussuchen und dann
> > schauen, welchen Radius r man benötigt, damit f auf
> > [mm]B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|
>  
>
> Oben ist doch vom [mm]z_1=0[/mm] die Rede. Daher würde ich für D
> eine abgeschlossene Kreisscheibe um 0 mit Radius r nehmen.

Aaah. Guter Anhaltspunkt!  

> Wie kommt man zu r ?

>  
> So:
>  
> Für z,w [mm]\in[/mm] D ist
>  
> [mm]|f(z)-f(w)|=|z^2-w^2|=|z+w|*|z-w| \le (|z|+|w|)*|z-w| \le 2r|z-w|[/mm].
>  
> Machts klick ?

Ich denke schon. Man könnte r:=1/4 wählen oder zumindest r<1/2.
Danke!

> FRED
>  >  
> > Mit [mm]B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|
> > den Punkt [mm]z_0[/mm] mit Radius r.
> >
> > Ich bin hier leicht überfordert. Sonst war der
> > Definitionsbereich nämlich immer vorgegeben und die Zahlen
> > reell...
>  >  
> > Grüße, kulli
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]