Fixpunktprobleme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Sa 01.08.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Sei f(x) = ln x - (x + 1)(x - 2).
Lösen Sie die Gleichung f(x^*) = 0 auf folgende Weise:
a) indem Sie anhand einer Grafik die Lösungen näherungsweise feststellen,
b) indem Sie die folgenden Iterationsfunktionen auf ihre Brauchbarkeit für die Lösung des Problems testen:
[mm] \Phi [/mm] (x)= [mm] \wurzel{ln(x)+2,25}+0,5 [/mm] |
Hallo. Ich habe hier die folgende Aufgabe und weiß iregndwie nicht, wie ich meine Ergebnisse interpretieren soll. Vielleicht kann mir hier jemand weiter helfen. Ich bedanke mich schonmal.
Also ich habe so angefangen: Ich habe die Funktion und habe folgende Punkte geschätzt: [mm] x_{1}^*=0,12 [/mm] und [mm] x_{2}^*=2,25
[/mm]
Jetzt schreibe ich hier meine Mitschrift auf, die ich irgendwie nicht mehr verstehe:
[mm] \Phi [/mm] (x)= [mm] \wurzel{ln(x)+2,25}+0,5 [/mm] für x>0,11, denn ln(x)=-2,25 [mm] \gdw e^{-2,25}\approx [/mm] 0,11
[mm] \Phi'(x)=\bruch{1}{2x}(ln(x)+2,25)^{-0,5}
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{2x\wurzel{ln(x)+2,25}}|<1
[/mm]
Startwert [mm] x_{0}=2
[/mm]
[mm] x_{1}=\wurzel{ln(2)+2,25}+0,5 [/mm] = 2,2156
[mm] x_{2}=2,24514
[/mm]
[mm] x_{3}=2,24893
[/mm]
[mm] x_{4}=2,24942
[/mm]
[mm] x_{5}=2,24947
[/mm]
[mm] x_{6}=2,249485 \approx x_{2}*
[/mm]
Ich verstehe nicht mehr warum ich das gemacht habe.
Eigentlich habe ich das bei den anderen Aufgaben immer so gemacht, dass ich die Ableitung bestimmt habe von [mm] \Phi [/mm] und dann den geschätzten Punkt eingesetzt habe. Wenn es dann < als 1 war, gab es eine Konvergenz und wenn nicht, dann nicht.
Ist bei dieser Aufgabe das Verfahren jetzt geeignet oder nicht?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 So 02.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. musst du zeigen, dass der Fixpunkt von [mm] \Phi(x) [/mm] , wenn du ihn findest eine Loesung des Nullstellenproblems ist.
2. [mm] \Phi'(x) [/mm] muss nicht nur im startpunkt, sondern auch in folgenden <1 sein, damit du garantiert Konvergenz hast.
3. auch wenn im startpunkt f'>1 ist kann noch Konvergenz vorliegen.
einfaches Beispiel [mm] f(x)=x^2
[/mm]
Die Fixpunkte x=0 und x=1 siehst du direkt. aber lass sie uns iterativ bestimmen. f'(x)=2x f'<1 fuer x<0.5 also sollte es konvergieren fuer Startpunkt x=0,49 tut es auch. aber bei x=0,9 f'=1.8 konvergiert es auch! also hinreichende, nicht notwendige Bed.
den 2. fixpunkt x=1 kannst du durch keine Iteration finden , er ist "abstossend".
Auch hier hast du ja eigentlich 2 Nst, also hat auch [mm] \Phi [/mm] 2 Fixpunkte? was wenn lnx<2.25?
ich sehe nicht, wo du gezeigt hast dass fuer x> irgendwas [mm] \Phi'<1 [/mm] ist. Da steht die Behauptung ganz allgemein, ohne Grenzen, fuer x in der Naehe von 0.11 stimmt sie ja sicher nicht.
also 1. wenn du alles noch richtig mast, ist die Iteration geeignet, die eine Nst zu finden, die andere Nicht. Du solltest dann auch noch angeben fuer welche startwerte das konvergiert, und warum.
Gruss leduart
|
|
|
|
