Fixpunktgleichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gleichung sin(x)=2+ln(x) genau eine Lösung im Intervall [mm] (0,\infty) [/mm] hat, indem Sie die Gleichung in eine Fixpunktgleichung der Form x=f(x) mit einer Kontraktion f umformen. Berechnen Sie die Lösung näherungsweise. |
Hallo,
Aus sin(x)=2+ln(x) folgt:
f(x) = sin(x)-(2+ln(x))+x = sin(x)-2-ln(x)+x
[mm] \parallel f(x)-f(y)\parallel [/mm]
= [mm] \parallel sin(x)-2-ln(x)+x-(sin(y)-2-ln(y)+y)\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel sin(x)-2-ln(x)+x-sin(y)+2+ln(y)-y\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel sin(x)-sin(y)-ln(x)+ln(y)+x-y\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel sin(x)-sin(y)-(ln(y)-ln(y))+(x-y)\parallel
[/mm]
[mm] \le \parallel \bruch{1}{4}x-\bruch{1}{4}y-(\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}y)+(x-y)\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel -\bruch{1}{4}x+\bruch{1}{4}y+(x-y)\parallel
[/mm]
[mm] =\parallel -\bruch{1}{4}x+\bruch{1}{4}y [/mm] + [mm] \bruch{4x}{4}-\bruch{4y}{4} \parallel
[/mm]
= [mm] \parallel \bruch{3x}{4}- \bruch{3y}{4}\parallel
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{4}\parallel x-y\parallel
[/mm]
Ist die Kontraktion richtig oder war damit etwas anderes gemeint?
Liebe Grüße
sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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Hallo sommersonne !
> Zeigen Sie, dass die Gleichung sin(x)=2+ln(x) genau eine
> Lösung im Intervall [mm](0,\infty)[/mm] hat, indem Sie die Gleichung
> in eine Fixpunktgleichung der Form x=f(x) mit einer
> Kontraktion f umformen. Berechnen Sie die Lösung
> näherungsweise.
> Hallo,
>
> Aus sin(x)=2+ln(x) folgt:
> f(x) = sin(x)-(2+ln(x))+x = sin(x)-2-ln(x)+x
Dies ist zwar eine Funktion mit f(x)=x [mm] \gdw [/mm] sin(x)=2+ln(x),
aber keine "Kontraktion".
Eine kontrahierende Funktion ist in diesem Zusammenhang
eine differenzierbare Funktion mit |f'(x)| < 1 für alle x>0.
Deine Funktion erfüllt diese Bedingung nicht, weil
[mm] \limes_{x \downarrow 0} [/mm] |f'(x)| = [mm] \infty
[/mm]
Man muss also einen anderen Weg gehen, um eine
geeignete Funktion f zu finden. Siehe unten !
> [mm]\parallel f(x)-f(y)\parallel[/mm]
> = [mm]\parallel sin(x)-2-ln(x)+x-(sin(y)-2-ln(y)+y)\parallel[/mm]
> =
> [mm]\parallel sin(x)-2-ln(x)+x-sin(y)+2+ln(y)-y\parallel[/mm]
> =
> [mm]\parallel sin(x)-sin(y)-ln(x)+ln(y)+x-y\parallel[/mm]
> =
> [mm]\parallel sin(x)-sin(y)-(ln(y)-ln(y))+(x-y)\parallel[/mm]
> [mm]\le \parallel \bruch{1}{4}x-\bruch{1}{4}y-(\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}y)+(x-y)\parallel[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
hier scheinst du heftig "gezaubert" zu haben 
> = [mm]\parallel -\bruch{1}{4}x+\bruch{1}{4}y+(x-y)\parallel[/mm]
>
> [mm]=\parallel -\bruch{1}{4}x+\bruch{1}{4}y[/mm] +
> [mm]\bruch{4x}{4}-\bruch{4y}{4} \parallel[/mm]
> = [mm]\parallel \bruch{3x}{4}- \bruch{3y}{4}\parallel[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3}{4}\parallel x-y\parallel[/mm]
>
> Ist die Kontraktion richtig oder war damit etwas anderes
> gemeint?
>
>
> Liebe Grüße
> sommer
Wie findet man also hier eine geeignete Kontraktion f ?
Man kann die Gleichung sin(x)=2+ln(x) zum Beispiel
so umformen:
sin(x)-2=ln(x)
[mm] e^{sin(x)-2}=e^{ln(x)}=x
[/mm]
Auf der linken Seite steht nun eine Funktion
[mm] f(x)=e^{sin(x)-2}
[/mm]
Man kann durch Betrachtung der Ableitung f'(x) leicht
zeigen, dass es sich bei f tatsächlich um eine kontrahierende
Funktion handelt.
Die (einzige) Lösung der Gleichung sin(x)=2+ln(x) kann
man dann iterativ bestimmen, indem man mit einem
beliebigen positiven Startwert [mm] x_0 [/mm] beginnt und dann
[mm] x_1=f(x_0), x2=f(x_1), [/mm] ... berechnet. Die gesuchte
Lösung entspricht dem Grenzwert
[mm] \limes_{n\to\infty}{x_n}
[/mm]
LG al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Di 16.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Versuchs mal mit f(x) = [mm] e^{sinx-2}
[/mm]
Weise nach, dass |f'(x)| < 1 für alle x>0 (siehe Beitrag von Al-Ch.)
Mittelwertsatz !!
FRED
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Hallo,
danke für eure Antworten!
Allerdings glaube ich nicht, dass wir die Konktraktion mit der Ableitung zeigen sollen, aber ich habe es nochmal versucht:
[mm] f(x)=e^{sin(x)-2}
[/mm]
[mm] \parallel e^{sin(x)-2} [/mm] - [mm] e^{sin(y)-2} \parallel
[/mm]
= [mm] \parallel [/mm] sin(x)-2 - [mm] (sin(y)-2)\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel sin(x)-2-sin(y)+2\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel sin(x)-sin(y)\parallel
[/mm]
< [mm] \parallel x-y\parallel
[/mm]
Liebe Grüße
sommer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 16.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für eure Antworten!
> Allerdings glaube ich nicht, dass wir die Konktraktion mit
> der Ableitung zeigen sollen, aber ich habe es nochmal
> versucht:
>
> [mm]f(x)=e^{sin(x)-2}[/mm]
>
> [mm]\parallel e^{sin(x)-2}[/mm] - [mm]e^{sin(y)-2} \parallel[/mm]
> =
> [mm]\parallel[/mm] sin(x)-2 - [mm](sin(y)-2)\parallel[/mm]
Wie kommst Du denn darauf ???
> = [mm]\parallel sin(x)-2-sin(y)+2\parallel[/mm]
> = [mm]\parallel sin(x)-sin(y)\parallel[/mm]
>
> < [mm]\parallel x-y\parallel[/mm]
FRED
>
>
> Liebe Grüße
> sommer
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Oh, da habe ich wohl falsch umgestellt. Schade, das Ergebnis war schön.
[mm] \parallel e^{sin(x)-2} -e^{sin(y)-2}\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel e^{-2}*e^{sin(x)}-e^{-2}*e^{sin(y)}\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel e^{-2}(e^{sin(x)}-e^{sin(y))}\parallel
[/mm]
Hmmm, wie lässt sich denn [mm] e^{sin(x)}-e^{sin(y)} [/mm] abschätzen?
Liebe Grüße
sommer
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> Oh, da habe ich wohl falsch umgestellt. Schade, das
> Ergebnis war schön.
>
> [mm]\parallel e^{sin(x)-2} -e^{sin(y)-2}\parallel[/mm]
> = [mm]\parallel e^{-2}*e^{sin(x)}-e^{-2}*e^{sin(y)}\parallel[/mm]
>
> = [mm]\parallel e^{-2}(e^{sin(x)}-e^{sin(y))}\parallel[/mm]
>
> Hmmm, wie lässt sich denn [mm]e^{sin(x)}-e^{sin(y)}[/mm]
> abschätzen?
>
> Liebe Grüße
> sommer
Grundsätzlich alle Sinuswerte liegen im Intervall [-1;+1].
Wegen der strengen Monotonie der Exponentialfunktion
liegen dann alle Werte von [mm] e^{sin(t)} [/mm] zwischen [mm] e^{-1}
[/mm]
und [mm] e^1 [/mm] !
LG 
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Ja, daran hatte ich auch erst gedacht, aber dann verschwindet ja mein x und y, also:
[mm] \le\parallel e^{-2}(e^1-e^{-1})\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel e^{-2} (2,718-0,367)\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel e^{-2} (2,351)\parallel
[/mm]
= [mm] \parallel [/mm] 0,135 [mm] \parallel
[/mm]
Wenn ich jetzt x=0,1 und y=0,05 wähle, würde [mm] ja\parallel [/mm] 0,135 [mm] \parallel \le \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] nicht mehr stimmen.
Liebe Grüße
sommer
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Genau darum wäre es doch vielleicht die bessere
Idee, die Eigenschaft |f'(x)| < 1 heranzuziehen,
um zu zeigen, dass f kontrahierend ist !
Daraus folgt nämlich für ein Intervall [a;b] mit a<b
auch, dass |f(b)-f(a)| < |b-a| ist !
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