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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Fr 14.08.2009 | | Autor: | pittster |
| Aufgabe | Für einen Endomorphismus $F [mm] V\to [/mm] V$ ist die Menge der Fixpunkte von F Definiert durch $Fix F := [mm] \{v \in V: F(v) = v\}$.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass Fix F [mm] \subset [/mm] V ein UVR ist.
b) Sei der Endomorphismus F gegeben durch
$F: [mm] \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, [/mm] x [mm] \mapsto \pmat{1&2&2\\0&1&0\\3&0&1} \cdot [/mm] x$
und [mm] $\mathbb{R}[/mm] [t] [mm] \to \mathbb{R}[/mm] [t] f [mm] \mapsto [/mm] f'$ |
a) Wenn [mm] $v,w\in [/mm] Fix(F)$ sind, ist wegen er linearität von F auch $F(v+w) = F(v)+F(w) = v+w [mm] \in [/mm] Fix(F)$, Für [mm] $\lambda$ [/mm] gilt: [mm] $\lambda F(v)=F(\lambda v)=\lambda [/mm] v \ in Fix(v)$.
b) Zuerst G:
Weil für Ableitungen von Polynomen stets grad(f)=grad(f')+1 gilt, ist das Nullpolynom das Einzige Polynom für das gilt f= f' - also ist die Basis von Fix G = [mm] $\emptyset$
[/mm]
Nun F:
[mm] $\pmat{1&2&2\\0&1&0\\3&0&1} \cdot$ $\pmat{a\\b\\c}$ [/mm] = [mm] $\pmat{a+2b+2c\\b\\3a+c}$
[/mm]
Für jede b-Koordinate gibt es also nichts zu tun. Bei den Koordinaten a und c bin ich folgendermaßen vorgegangen:
c = 3a+c lässt sich dazu umformen c-c=0=3a, demnach ist a=0
a=2b+c Damit a=0 erfüllt ist, muss c = -2b sein.
Basis ist also der Vektor [mm] $v_1=(0,1,-2) \in \mathbb{R}^3$
[/mm]
Wenn ich bei der Probe zu F keinen groben Rechenfehler gemacht habe, sollte das eigentlich richtig sein. Stimmts soweit?
lg, Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Fr 14.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Für einen Endomorphismus [mm]F V\to V[/mm] ist die Menge der
> Fixpunkte von F Definiert durch [mm]Fix F := \{v \in V: F(v) = v\}[/mm].
>
> a) Zeigen Sie, dass Fix F [mm]\subset[/mm] V ein UVR ist.
>
> b) Sei der Endomorphismus F gegeben durch
>
> [mm]F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, x \mapsto \pmat{1&2&2\\0&1&0\\3&0&1} \cdot x[/mm]
>
> und [mm]$\mathbb{R}[/mm] [t][mm]\to \mathbb{R}[/mm] [t]f [mm]\mapsto[/mm] f'$
Fehlt da ein Teil der Aufgabenstellung? Etwa "Berechne $Fix F$"?
> a) Wenn [mm]v,w\in Fix(F)[/mm] sind, ist wegen er linearität von F auch [mm]F(v+w) = F(v)+F(w) = v+w \in Fix(F)[/mm],
Ja.
> Für [mm]\lambda[/mm] gilt: [mm]\lambda F(v)=F(\lambda v)=\lambda v \ in Fix(v)[/mm].
Das solltest du anders herum aufschreiben: [mm] $F(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] F(v) = [mm] \lambda [/mm] v$.
> b) Zuerst G:
>
> Weil für Ableitungen von Polynomen stets grad(f)=grad(f')+1 gilt, ist das Nullpolynom das Einzige Polynom für das gilt f= f' - also ist die Basis von Fix G = [mm]\emptyset[/mm]
Ja.
> Nun F:
>
> [mm]\pmat{1&2&2\\0&1&0\\3&0&1} \cdot[/mm] [mm]\pmat{a\\b\\c}[/mm] = [mm]\pmat{a+2b+2c\\b\\3a+c}[/mm]
>
> Für jede b-Koordinate gibt es also nichts zu tun. Bei den Koordinaten a und c bin ich folgendermaßen vorgegangen:
>
> c = 3a+c lässt sich dazu umformen c-c=0=3a, demnach ist a=0
>
> a=2b+c Damit a=0 erfüllt ist, muss c = -2b sein.
Nein, du hast $-a = 2 b + 2 c$. Woraus $c = -b$ folgt.
> Basis ist also der Vektor [mm]v_1=(0,1,-2) \in \mathbb{R}^3[/mm]
Das musst du dementsprechend anpassen.
Und ob du richtig gerechnet hast zeigt ja immer noch eine Probe: einfach die Matrix mit dem Vektor multiplizieren.
LG Felix
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