Fixpunkte beweisen/berechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Tensor |
| Aufgabe | | Wir betrachten die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] f(x) := [mm] e^{-x/e} [/mm] . Zeigen Sie, dass genau ein Punkt a [mm] \in [/mm] ]0,1[ existiert mit f(a) = a. |
Hallo mal! Also danke erstmal fürs Durchlesen von der Aufgabenstellung  ! Ich bin das einmal folgendermaßen angegangen: Ich beweise einmal, dass es sich um eine Kontraktion handelt und danach dass [mm] \IR [/mm] vollständig ist. Das sind ja mal die Voraussetzungen für den Fixpunktsatz! Und jetzt fängt es aber an schwierig zu werden! Ich nehme als Lösungsansatz den Mittelwertsatz der Differentialgleichung und erhalte somit
|f(x) -f(y)| [mm] \le [/mm] sup|f'(z)||x-y|. Und jetzt müsste ich irgendwie zeigen können, dass das f'(z) zwischen 0 und 1 (offen) liegt, aber wie mache ich das am besten??? Ich bin für jeden Lösungsvorschlag etc. total dankbar!!! LG Tensor
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Sa 29.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo tensor
einfach ableiten [mm] f'=-\bruch{1}{e}*e^{-\bruch{x}{e}} [/mm] das ist monoton und am Anfang und Ende des Intervalls <1. (Monotonie von f'evt. durch f''>0 überall zeigen)
Damit gehts auch ohne Fixpunktsatz:
f(x)-x ist monoton fallend (und stetig) am Anfang des Intervalls pos. am Ende negativ, hat deshalb genau eine Nullstelle.
total dankbar find ich gut!
Gruss leduart
|
|
|
|
