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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Mo 27.06.2011 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Sei [mm]I:= [-1,1] x [-1,1][/mm] und die Funktion [mm]f: I \to \IR^2[/mm] gegeben durch
[mm]f(x) = f(\vektor{x_1 \\ x_2 }) = \bruch{1}{8}\vektor{ln(1 + x_1^2 + x_2^2) -1 \\ x_1^2 + x_2^2}[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f in I genau einen Fixpunkt besitzt
b) Führen Sie mit [mm]x^{(0)}=\vektor{0\\0}[/mm] zwei Schritte der Fixpunktiteration durch und geben Sie eine a-posteriori-Fehlerabschätzung für [mm] x^{(2)} [/mm] an. |
So weit so gut. Für a) habe ich keinerlei Ansatz, wie man das zeigen könnte, so etwas habe ich noch nie gemacht und im Skript findet sich kein einziges auch nur annährend hilfreiches Beispiel. Wie kann/sollte man hier ansetzen?
Deshalb habe ich mich bislang (überwiegend erfolglos) an Teilaufgabe b versucht.
Für diese Aufgabentypen wurde in der Vorlesung das mehrdimensionale Newton-Verfahren vorgestellt, samt Algorithmus.
Das Problem - egal wie ich es drehe und wende: Die Funktional-Matrix dieser Funktion ist schlichtweg nicht invertierbar, damit ist der Algorithmus nicht durchführbar.
Was mache ich also falsch?
Wenn ich die entsprechende Jakobi/Funktionalmatrix aufstelle, erhalte ich:
[mm]J(x) = \bruch{1}{8}\pmat{ \bruch{\partial f_1(x)}{\partial x_1} & \bruch{\partial f_1(x)}{\partial x_2} \\ \bruch{\partial f_2(x)}{\partial x_1} & \bruch{\partial f_2(x)}{\partial x_2} } = \bruch{1}{8} \pmat{ \bruch{2x_1}{x_1^2 + x_2^2 + 1} & \bruch{2x_2}{x_1^2 + x_2^2 + 1} \\ 2x_1 & 2x_2 }[/mm]
Und dieses Funktional hat nicht annähernd vollen Rang, ist also erst recht nicht invertierbar.
Damit ist das Lösen von [mm]\Delta x^{(n)} = -J(x^{(n)})f(x^{(n)})[/mm] nicht möglich und der Algorithmus nicht durchführbar...
Wer kann und mag mir da mal auf die Sprünge helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Fixpunktsatz von Banach
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:59 Di 28.06.2011 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Fred,
sehr guter Tipp, danke! Kaum zu glauben: Der Fixpunktsatz wird im gesamten Skript nicht ein mal erklärt, nur an einigen wenigen Stellen vorausgesetzt. Aber gut... da er mir woanders schon mal untergekommen war, hat das vielleicht sogar seine Richtigkeit.
Weiter mit der Aufgabe:
Der Banach'sche Fixpunktsatz ist ja recht überschaubar: Es reicht, zu zeigen, dass
[mm]||f(x) - f(y)|| \le c||x - y||[/mm]
gilt. Und da kann man sich die Norm, bezüglich man der das zeigt, sogar noch frei aussuchen.
Naheliegender Ansatz: Euklidische Norm.
[mm]||f(\vektor{x_1\\x_2}) - f(\vektor{y_1\\y_2})|| = ||\bruch{1}{8}\vektor{ln(1 + x_1^2 + x_2^2) - ln(1 + y_1^2 + y_2^2)\\x_1^2 + x_2^2 - y_1^2 - y_2^2}||[/mm]
Und hier wirds schon recht tricky. Ein Logarithmusgesetz, das mir da spontan einfiele, wäre ln(a) + ln(b) = ln(a*b).
Aber wie auch immer ich das Ganze umforme, es bleibt unschön - und dass das kleiner oder gleich [mm]c*\wurzel{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}[/mm] mit c<1 ist, das sehe ich da auch noch nicht...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Do 30.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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