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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Do 22.07.2010 | | Autor: | Avram |
| Aufgabe | Sei X eine beschränkte, abgeschlossene Teilmenge von [mm] \IR^2 [/mm] und f: X [mm] \to [/mm] X eine Abbildung.
Es gelte: Sind x,y 2 verschiedene Punkte, so gilt || f(x)-f(y) || < || x-y||
Zeigen Sie, dass genau ein [mm] x_0 \in [/mm] X existiert mit [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] x_0 [/mm] |
Meine Lösungsidee:
Definiere g(x) = || x - f(x) ||
Da X kompakt ist, nimmt g auf X sein Min und Max an.
Sei [mm] x_0 [/mm] die Stelle in der g sein Min annimt.
Annahme: [mm] x_0 \not= f(x_0)
[/mm]
[mm] g(f(x_0)) [/mm] = || [mm] f(x_0) [/mm] - [mm] f(f(x_0)) [/mm] || < ( da [mm] x_0 \not= f(x_0) [/mm] ) || [mm] x_0 [/mm] - [mm] f(x_0) [/mm] || = [mm] g(x_0)
[/mm]
Also [mm] g(x_0) [/mm] > [mm] g(f(x_0)), [/mm] das ist ein Widerspruch, da g in [mm] x_0 [/mm] sein Min annimt. Zum Widerspruch hat die Annahme [mm] x_0 \not= f(x_0) [/mm] geführt,
was bedeutet [mm] x_0 [/mm] = [mm] f(x_0).
[/mm]
fertig.
Ist das in Ordnung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Do 22.07.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo
Dein Existenzbeweis hätte man nicht besser machen können! Bleibt nur noch die Eindeutigkeit.
Gruss dazivo
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