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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo Matheraum!
Meine Aufgabe ist wie folgt:
Sei a,b [mm] \in \IR^3 [/mm] \ {0} , [mm] S_a [/mm] ist die Spiegelung an [mm] {a}^{\perp} [/mm] .
Definiert ist f: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] f(x) := [mm] S_a(x) [/mm] + b und [mm] S_a(x) [/mm] = x - 2* [mm] \bruch{}{}*a [/mm] , [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^3 [/mm] .
Zeigt: f hat einen Fixpunkt [mm] \gdw [/mm] a [mm] \in [/mm] span{b}
Beweis: " [mm] \Rightarrow [/mm] " also diese Richtung habe ich schon gezeigt, da bin ich mir auch relativ sicher.
" [mm] \Leftarrow [/mm] " zu dieser Richtung habe ich folgendes gemacht:
Sei a [mm] \in [/mm] span{b} , d.h. a ist linear kombinierbar aus b,
also ist a = [mm] \lambda [/mm] *b mit [mm] \lambda \in \IR [/mm] \ {0} und b [mm] \in \IR^3 [/mm] \ {0} . Setze in f(x) = [mm] S_a(x) [/mm] + b für a = [mm] \lambda [/mm] *b ein.
f(x) = [mm] S_{\lambda *b}(x) [/mm] + b = x - 2* [mm] \bruch{}{<\lambda *b,\lambda *b>}*\lambda [/mm] *b + b = x - 2* [mm] \bruch{\lambda^2 }{\lambda^2 } [/mm] + b = x + b ( 1 - 2 * [mm] \bruch{}{})
[/mm]
und nun muss ich doch nur noch zeigen, dass es für ein x [mm] \in \IR^3 [/mm] einen Wert gibt der einen Fixpunkt von f ist (oder?), also setze ich einfach x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * b
dann folgt [mm] f(\bruch{1}{2} [/mm] * b) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * b + b( 1 - [mm] 2*\bruch{<\bruch{1}{2} * b,b>}{}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * b + b( 1 - [mm] 1*\bruch{}{}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * b
also folgt das f einen fixpunkt bei [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * b hat. [mm] \Box
[/mm]
Ich würde gern wissen ob mein Beweis in Ordung?
Danke
Tito
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Tito
ich habe an deinem Beweis nichts Falsches gefunden, ausser einem kleinen Tippfehler:
> [...]
>
> [mm]\lambda[/mm] *b ein.
> f(x) = [mm]S_{\lambda *b}(x)[/mm] + b = x - 2* [mm]\bruch{}{<\lambda *b,\lambda *b>}*\lambda[/mm]
> *b + b = x - 2* [mm]\bruch{\lambda^2 }{\lambda^2 }[/mm] +
Hier fehlt hinter dem Bruch wohl noch ein Faktor b.
Das hast du aber sicher nur eingebaut, um zu prüfen, ob wir das auch genau lesen! 
> b = x + b ( 1 - 2 * [mm]\bruch{}{})
[/mm]
>
> und nun muss ich doch nur noch zeigen, dass es für ein x
> [...]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo und danke Paulus!
Aber natürlich habe ich diesen Fehler nur aus diesem einen bestimmten Grund eingebaut .
Gruß
Tito
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