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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | [mm] R=\{\bruch{a}{b}:a \in \IZ, b \in \IZ \backslash \{0\}, b \not\equiv 0(mod 2)\}
[/mm]
Zeige R ist ein Integritätsring und bestimme alle Ideale sowie maximalen Ideale von R. |
Dass R ein Integritätsring ist, das ist mir klar.
Für die Ideale habe ich folgende Idee:
Man kann zeigen, dass für jedes feste aber beliebige m,k [mm] \in \IN [/mm] gilt, dass
[mm] M=\{\bruch{a*k}{b*2m+1}:a,b \in \IZ, b \not= 0\} [/mm]
ein Ideal ist.
Ich bin mir aber nun nicht sicher, ob es noch andere Ideale gibt. Außerdem muss ich noch die maximalen Ideale finden, also zeigen, dass (R/M,+,*) ein Körper ist. Muss ich denn überhaupt noch zeigen, dass (R/M,+) eine kommutative Gruppe ist? Und ist (R/M,*) nicht auch immer eine kommutative Gruppe? Dann wären alle Ideale auch maximale Ideale.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mi 11.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
> [mm]R=\{\bruch{a}{b}:a \in \IZ, b \in \IZ \backslash \{0\}, b \not\equiv 0(mod 2)\}[/mm]
>
> Zeige R ist ein Integritätsring und bestimme alle Ideale
> sowie maximalen Ideale von R.
> Dass R ein Integritätsring ist, das ist mir klar.
>
> Für die Ideale habe ich folgende Idee:
> Man kann zeigen, dass für jedes feste aber beliebige m,k
> [mm]\in \IN[/mm] gilt, dass
> [mm]M=\{\bruch{a*k}{b*(2m+1)}:a,b \in \IZ, b \not= 0\}[/mm]
> ein Ideal ist.
> Ich bin mir aber nun nicht sicher, ob es noch andere
> Ideale gibt. Außerdem muss ich noch die maximalen Ideale
> finden, also zeigen, dass (M,+,*) ein Körper ist. Muss ich
Wenn M ein maximales Ideal des kommutativen Ringes R mit 1 ist, dann ist doch R/M ein Körper.
Wieso soll dann (M,+,*) ein Körper sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Sin777 |
Ich habe mich verschrieben. Ich meinte natürlich (R/M,+,*) und verbessere es gleich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Sin777 |
Außerdem ist mir nicht richtig klar, wie die Verknüpfung + auf (R/J,+) definiert ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mi 11.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]R=\{\bruch{a}{b}:a \in \IZ, b \in \IZ \backslash \{0\}, b \not\equiv 0(mod 2)\}[/mm]
>
> Zeige R ist ein Integritätsring und bestimme alle Ideale
> sowie maximalen Ideale von R.
>
> Dass R ein Integritätsring ist, das ist mir klar.
>
> Für die Ideale habe ich folgende Idee:
> Man kann zeigen, dass für jedes feste aber beliebige m,k
> [mm]\in \IN[/mm] gilt, dass
> [mm]M=\{\bruch{a*k}{b*(2m+1)}:a,b \in \IZ, b \not= 0\}[/mm]
> ein Ideal ist.
Das ist nichtmals eine Teilmenge von $R$. Waehle $a = 1$, $b = 2 k$, und $k, m$ beliebig. Dann ist [mm] $\frac{a k}{b (2m+1)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2 (2m+1)} \not\in [/mm] R$, da $2 (2m+1) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{2}$ [/mm] ist.
Schau dir doch erstmal an, welche Elemente in $R$ Einheiten sind und welche nicht. Ueberlege dir, das es (bis auf Assoziiertheit) ein irreduzibles Element gibt (und das dieses prim ist). Damit kannst du dann zeigen, dass die von den Potenzen dieses Elementes erzeugten Hauptideale alle Ideale (ungleich dem Nullideal) in $R$ sind.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Sin777 |
Ich habe die Klammern falsch gesetzt. Jetzt stimmt es aber :)
Also im Nenner steht 2bm+1
Was hat das mit den Einheiten zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Do 12.01.2012 | | Autor: | hippias |
Da echte Ideale keine Einheiten enthalten, ist es nuetzlich zu wissen, welche Elemente man zur Erzeugung von echten Idealen nicht verwenden darf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Do 12.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Da echte Ideale keine Einheiten enthalten, ist es nuetzlich
> zu wissen, welche Elemente man zur Erzeugung von echten
> Idealen nicht verwenden darf.
und in einem Integritaetsbereich sind die von zwei Elementen erzeugten Hauptideale genau dann gleich, wenn die Elemente assoziiert sind, d.h. wenn das eine gleich dem anderen mal eine Einheit ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Do 12.01.2012 | | Autor: | Sin777 |
Mit der Anpassung dürften doch die beschriebenen Mengen alle Ideale sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:54 Fr 13.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mit der Anpassung dürften doch die beschriebenen Mengen
> alle Ideale sein, oder?
Sie sind additiv abgeschlossen, aber erfuellen nicht umbedingt die Schluckeigenschaft.
LG Felix
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