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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 So 22.12.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Finden Sie die Green'sche Funktion für die obere Halbkugel [mm] $\Omega:=\left\{x\in\mathbb{R}^n : \lVert x\rVert < R, x_n > 0\right\}$ [/mm] (für die Dirichlet-Randwertaufgabe der Laplacegleichung). Zeigen Sie, dass es wirklich eine Green'sche Funktion ist.
Bemerkung: Sie dürfen die Green'sche Funktion für die Kugel
[mm] $G_n(x,y)=E_n(x-y)-E_n(\frac{\lVert y\rVert}{R}(x-y^{\star}))$
[/mm]
verwenden, ohne deren Eigenschaften noch einmal nachzuweisen. Dabei ist $y*$ der gemäß
[mm] $y^{\star}=\frac{R^2}{\lVert y\rVert^2}y, ~~~\text{ für }y\in B_R(0)$
[/mm]
definierte Spiegelungspunkt an der Sphäre [mm] $S_R(0)$. [/mm] |
Hallo und einen schönen 4. Advent!
Bei dieser Gelegenheit wünsche ich auch gleich ein schönes Fest und einen guten Rutsch ins neue Jahr!
Was nun die Aufgabe betrifft, so bin ich etwas ratlos.
Eine Idee habe ich schon, aber sie erscheint mir doch zu einfach.
Ich definiere die Menge
[mm] $A:=\left\{x\in\mathbb{R}^n: \lVert x\rVert < R, x_n=0\right\}$ [/mm]
und mit deren Hilfe ist nun meine Idee, dass die Green'sche Funktion $H$ der oberen Halbkugel gegeben ist durch
[mm] $H(x,y):=\begin{cases}G_n(x,y), & (x,y)\in\overline{\Omega}\setminus A\times\Omega\\0, & (x,y)\in A\times\Omega\end{cases}$.
[/mm]
Wie gesagt, es erscheint mir zu einfach und es verträgt sich auch nicht so gut mit der gegebenen Bemerkung, denn dort heißt es, man müsse die Eigenschaften der Funktion [mm] $G_n$ [/mm] nicht nachweisen; wenn die Green'sche Funktionen der oberen Halbkugel nun aber so sein sollte, wie meine Idee ist, müsste ich ja letztlich doch die Eigenschaften von [mm] $G_n$ [/mm] nachweisen...
Ich hoffe, es kann mir jemand helfen!
Viele Grüße!
Mike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mo 23.12.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mike,
> Finden Sie die Green'sche Funktion für die obere Halbkugel
> [mm]\Omega:=\left\{x\in\mathbb{R}^n : \lVert x\rVert < R, x_n > 0\right\}[/mm]
> (für die Dirichlet-Randwertaufgabe der Laplacegleichung).
> Zeigen Sie, dass es wirklich eine Green'sche Funktion ist.
>
> Bemerkung: Sie dürfen die Green'sche Funktion für die
> Kugel
>
> [mm]G_n(x,y)=E_n(x-y)-E_n(\frac{\lVert y\rVert}{R}(x-y^{\star}))[/mm]
>
> verwenden, ohne deren Eigenschaften noch einmal
> nachzuweisen. Dabei ist [mm]y*[/mm] der gemäß
>
> [mm]y^{\star}=\frac{R^2}{\lVert y\rVert^2}y, ~~~\text{ für }y\in B_R(0)[/mm]
>
> definierte Spiegelungspunkt an der Sphäre [mm]S_R(0)[/mm].
> Hallo und einen schönen 4. Advent!
> Bei dieser Gelegenheit wünsche ich auch gleich ein
> schönes Fest und einen guten Rutsch ins neue Jahr!
>
> Was nun die Aufgabe betrifft, so bin ich etwas ratlos.
>
> Eine Idee habe ich schon, aber sie erscheint mir doch zu
> einfach.
>
> Ich definiere die Menge
>
> [mm]A:=\left\{x\in\mathbb{R}^n: \lVert x\rVert < R, x_n=0\right\}[/mm]
>
> und mit deren Hilfe ist nun meine Idee, dass die Green'sche
> Funktion [mm]H[/mm] der oberen Halbkugel gegeben ist durch
>
> [mm]H(x,y):=\begin{cases}G_n(x,y), & (x,y)\in\overline{\Omega}\setminus A\times\Omega\\0, & (x,y)\in A\times\Omega\end{cases}[/mm].
Hmm, ist diese Funktion denn überall stetig? Das scheint mir nicht der Fall zu sein.
Überlege dir dies: eine Linerarkombination zweier beliebiger Greenscher Funktionen ist (bis auf einen konstanten Faktor) wieder eine Greensche Funktion, nur zu anderen Randbedingungen.
Wie wäre es, wenn du die gegebenen Greensche Funktion mit der dazu gespiegelten Funktion kombinierst, also von
[mm]G_n(x,y)=E_n(x-y)-E_n(\frac{\lVert y\rVert}{R}(x-y^{\star}))[/mm]
die Funktion
[mm]G^\ast_n(x,y)=E_n(x^\ast-y)-E_n(\frac{\lVert y\rVert}{R}(x^\ast-y^{\star}))[/mm]
abziehst, wobei [mm]x^\ast=(x_1,\dots,x_{n-1},-x_n)[/mm] der an der Schnittfläche der Halbkugel gespiegelte Vektor ist
[mm]G_n(x,y)-G^\ast_n(x,y)[/mm] ist 0 für [mm] $x_n=0$.
[/mm]
Zum Nachweis der Eigenschaften darfst du ja benutzen, dass [mm]G_n(x,y)[/mm] die Greensche Funktion der Kugel ist, und daraus folgt sofort, dass [mm]G_n(x,y)-G^\ast_n(x,y)[/mm] auf der Oberfläche der Halbkugel Null ist. Die restlichen Eigentschaften sind auch nicht weiter schwer.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:49 Fr 03.01.2014 | | Autor: | mikexx |
Hallo, wie kommt man auf diese Idee mit dem Spiegeln?
Das ist mir nicht klar.
Konkreter gefragt: Man hat die Greensche Funktion für die volle Kugel vorgegeben, was muss man nun spiegeln um zu der Greenschen Funktion für die obere Halbkugel zu kommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 So 05.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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