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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Do 03.08.2006 | | Autor: | Faronel |
| Aufgabe | Man finde eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten von kleinster Ordnung, welche die folgenden Funktionen als Lösung besitzt:
x [mm] \to [/mm] -xsin(2x)
x [mm] \to e^{-x}
[/mm]
Wie heisst deren allgemeine Lösung? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Das ist eine Aufgabe aus einer Vordiplomprüfung. Ich habe die Lösung vorliegen, erkenne aber nicht richtig, wie man auf die Lösung kommt.
Lösung:
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Aus den Lösungen liest man sofort ab, dass 2i und damit auch -2i (mindestens) eine doppelte und -1 (mindestens) eine einfach Nullstelle des charakteristischen Polynoms sein muss. Das Polynom von kleinster Ordnung muss also lauten:
[mm] (\lambda [/mm] - [mm] 2i)^{2}(\lambda [/mm] + [mm] 2i)^{2}(\lambda [/mm] + 1) = [mm] (\lambda^{2} [/mm] + [mm] 4)^{2}(\lambda [/mm] + 1) = [mm] \lambda^{5} [/mm] + [mm] \lambda^{4} [/mm] + [mm] 8\lambda^{3} [/mm] + [mm] 8\lambda^{2} [/mm] + [mm] 16\lambda [/mm] + 16
Die gesuchte Differentialgleichung ist damit gegeben durch
[mm] y^{(5)} [/mm] + [mm] y^{(4)} [/mm] + [mm] 8y^{(3)} [/mm] + [mm] 8y^{(2)} [/mm] + [mm] 16y^{(1)} [/mm] + 16y = 0
Die allgemeine Lösung lautet:
y(x) = [mm] c_{1}sin(2x) [/mm] + [mm] c_{2}cos(2x) [/mm] + [mm] c_{3}xsin(2x) [/mm] + [mm] c_{4}xcos(2x) [/mm] + [mm] c_{5}e^{-x}
[/mm]
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Also, wie "liest man sofort ab", dass 2i, -2i und -1 Lösungen sind?
Weiter sehe ich nicht, wie er von der "gesuchten Differentialgleichung" auf die "allgemeine Lösung" kommt.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Do 03.08.2006 | | Autor: | tausi |
Hallo!
Bist du dir sicher, dass xsin(2x) Lösung sein soll, denn bei deiner Lösung wäre ja nur sin(2x) eine Lösung. Kannst du das bitte kontrollieren!
Tausi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Fr 04.08.2006 | | Autor: | Faronel |
Die Aufgabenstellung, wie auch die Lösung wurde Korrekt abgetippt.
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Hallo
Die Nullstelle 2i (doppelt) siehst du an der Lösung x*sin(2*x) denn nach Euler ist e^(2*i*x)=cos(2*x) + i * sin(2*x) und der Faktor x in der Lösung sagt dir, dass 2*i eine doppelte Nullstelle ist (da man offenbar eine weitere linear unabhänige Lösung brauchte neben sin(x)).
Gruss
EvenSteven
PS Sorry, ich habe mich mit dem Matheskript hier noch nicht so auseinandergesetzt.
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