Filtration und Stoppzeiten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Do 12.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo zusammen.
Ich hab zwei generelle Verständisfragen und möchte dazu erstmal ein einfaches Beispiel eines Glückspiels nehmen. In jeder Runde verliere oder gewinne ich einen Euro, zum Modell:
Sei $(X_n)_{n \in \IN)$ eine Folge $\IR$-wertiger ZV'en, die unabhängig identisch verteilt sind und der Verteilung $\bruch{1}{2}*\delta_1 + \bruch{1}{2}*\delta_{-1}$ genügen.
Die Gewinnentwicklung wird dann beschrieben durch: $(S_n = \summe_{k=0}^{n} X_k)_{n \in \IN_o}$ mit $X_0=0$.
Nun meine erste Fragen:
Nun sei $\mathcal{F}_n = \sigma(S_1,...,S_n)$ die kanonische Filtration, also die Sigma-Algebra, die durch die ZV'en $S_1,...,S_n$ erzeugt wird.
Wie schaut nun zum Beispiel $\mathcal{F}_1$ oder $\mathcal{F}_2$ aus?
Wäre beispielsweise $(0,1,2), (0,1,0) \in \mathcal{F}_2$ ? (also 2 Mal gewinnen bzw. im zweiten Fall: Erst gewinnen, dann verlieren) Wie sehen weitere Elemente aus?
Zudem frage ich mich, warum $\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2$ gilt. Heißt das, dass auch $(0,1) \in \mathcal{F}_2$ sein muss?
Meine zweite Frage:
Mir ist die Definition der Stoppzeit überhaupt gar nicht klar.
Wir haben sie wie folgt definiert:
Sei $I \subset \IR$.
$T: \Omega \to I \cup \{\infty\} $ heißt Stoppzeit, wenn für alle $n \in I$ gilt: $\{T=n\} \in \mathcal{F}_n$.
Ich hab schon einige Beispiele gelesen, aber versteh trotzdem nicht, was mir die Defintion eigentlich sagen soll. Kann mir vielleicht jemand sagen, wie dieses T wohl im obigen Beispiel aussehen könnte?
Leider ist es viel Text geworden. Ich hoffe, es macht sich trotzdem jemand die Mühe sich das mal durchzulesen und evtl zu helfen. Dafür im Voraus vielen vielen Dank.
Gruß, Dester
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> Hallo zusammen.
> Ich hab zwei generelle Verständisfragen und möchte dazu
> erstmal ein einfaches Beispiel eines Glückspiels nehmen.
> In jeder Runde verliere oder gewinne ich einen Euro, zum
> Modell:
>
> Sei [mm](X_n)_{n \in \IN)[/mm] eine Folge [mm]\IR[/mm]-wertiger ZV'en, die
> unabhängig identisch verteilt sind und der Verteilung
> [mm]\bruch{1}{2}*\delta_1 + \bruch{1}{2}*\delta_{-1}[/mm] genügen.
> Die Gewinnentwicklung wird dann beschrieben durch: [mm](S_n = \summe_{k=0}^{n} X_k)_{n \in \IN_o}[/mm]
> mit [mm]X_0=0[/mm].
Ich denke, man könnte das alles auch auf allgemein
verständliche Weise sagen:
Man wirft eine Münze beliebig oft. "Kopf" bedeutet jeweils
einen Gewinn von einem Euro, "Zahl" einen Verlust von
einem Euro. Der Gewinn bei Abbruch nach n Würfen ist
die entsprechende Summe [mm] S_n.
[/mm]
> Nun meine erste Fragen:
>
> Nun sei [mm]\mathcal{F}_n = \sigma(S_1,...,S_n)[/mm] die kanonische
> Filtration, also die Sigma-Algebra, die durch die ZV'en
> [mm]S_1,...,S_n[/mm] erzeugt wird.
> Wie schaut nun zum Beispiel [mm]\mathcal{F}_1[/mm] oder
> [mm]\mathcal{F}_2[/mm] aus?
> Wäre beispielsweise [mm](0,1,2), (0,1,0) \in \mathcal{F}_2[/mm] ?
> (also 2 Mal gewinnen bzw. im zweiten Fall: Erst gewinnen,
> dann verlieren) Wie sehen weitere Elemente aus?
> Zudem frage ich mich, warum [mm]\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2[/mm]
> gilt. Heißt das, dass auch [mm](0,1) \in \mathcal{F}_2[/mm] sein
> muss?
Sorry, da muss ich mal passen, weil ich den Begriff
der "Filtration" (kommt mir irgendwie verschwommen
bekannt vor, nicht nur in Verbindung mit dem Marken-
namen "Melitta"...) zuerst mal wieder nachschlagen
müsste.
> Meine zweite Frage:
> Mir ist die Definition der Stoppzeit überhaupt gar nicht
> klar.
> Wir haben sie wie folgt definiert:
> Sei [mm]I \subset \IR[/mm].
> [mm]T: \Omega \to I \cup \{\infty\}[/mm]
> heißt Stoppzeit, wenn für alle [mm]n \in I[/mm] gilt: [mm]\{T=n\} \in \mathcal{F}_n[/mm].
>
> Ich hab schon einige Beispiele gelesen, aber versteh
> trotzdem nicht, was mir die Defintion eigentlich sagen
> soll. Kann mir vielleicht jemand sagen, wie dieses T wohl
> im obigen Beispiel aussehen könnte?
So richtig kann ich im Moment nicht weiter helfen,
doch denke ich, dass die "Stoppzeit" auch damit zu
tun haben wird, ob n gerade oder ungerade ist.
Nach einer geraden Anzahl von Würfen ist die Summe
("Gewinn") gerade, nach einer ungeraden Anzahl
ungerade, und umgekehrt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Fr 13.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Danke für die Anmerkung,
man kann sicherlich dem Kind einen Namen geben, z.B. Münzwurf.
Weiß noch jemand mehr zu den beiden Fragen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Sa 14.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
was die Filtration angeht, musst du dir überlegen bezüglich welchem [mm] \Omega [/mm] du die [mm] \sigma- [/mm] Algebra angeben willst. Denn die [mm] X_i [/mm] sind ja Zuvallsvariabeln dass heisst die [mm] \sigma (X_i) [/mm] ist die kleinste von diesen ZV's erzeugte [mm] \sigma [/mm] -A. was bedeutet, dass hier die Urbilder der ZV's enthalten sein müsse.
Eine mögliche Stoppzeit wäre zum Beispiel das kleinste n bei dem bereits dreimal gewonnen wurde.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Sa 14.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Hey,
danke für deine Antworten, Vivo.
Wie könnte denn mein [mm] $\Omega$ [/mm] im konkreten Fall, also bei diesem Spiel, aussehen?
Und zur Stoppzeit: Okay, dies wäre eine Möglichkeit. Was mir dabei speziell noch nicht ganz klar ist: Ist die Stoppzeit dann erst während der Durchführung bestimmbar, oder wäre sie in deinem Beispiel dann 3, da nach 3 Runden 3 Siege möglich wären ("das kleinste n bei dem bereits 3Mal gewonnen wurde")
Gruß,
Dester
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Sa 14.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
zuerst zur Stoppzeit:
die Stoppzeit ist eine Zufallsvariable in unserem Beispiel gibt sie dann die zufällige zeit an, nach der zum ersten mal 3 siege eingetreten sind.
dein [mm] \Omega [/mm] könnte alle möglichen Folgen von 1 und -1 bis mit N einträgen die es gibt sein. Und die [mm] X_i [/mm] wären dann die i Koordinaten Abbildung die Verteilung und unabhängigkeit der [mm] X_i [/mm] würden dann auch das W-Maß auf der [mm] \sigma-A. [/mm] definieren.
die Filtrationen könntest du dann am besten über die Zylindermengen definieren. Versuch doch mal die ersten drei Filtrationen aufzuschreiben.
bis dann gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Sa 14.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Hallo,
danke nochmals für deine Antwort, vivo.
> die Filtrationen könntest du dann am besten über die
> Zylindermengen definieren. Versuch doch mal die ersten drei
> Filtrationen aufzuschreiben.
Wäre das nicht etwas zu aufwändig oder stelle ich mir diese Mengen zu kompliziert vor?
Ich hatte ja oben geschrieben, dass ich mir eine kanonische Filtration vorstelle, also die [mm] $\sigma$-Algebren, [/mm] die von den Zufallsvariablen erzeugt werden und somit die kleinsten sind bzgl. der X messbar bleibt.
Ich stell mir das dann nun in etwa so vor:
Z.B. ist $(1,1,1), (-1,1,1), (-1,-1,1) [mm] \in \mathcal{F}_3$, [/mm] dh alle 3-Tupel, die aus den Folgen von 1en und -1en bestehen oder aus Vereinigungen dieser Mengen. Zudem müsste [mm] $\Omega$ [/mm] selber und die leere Menge enthalten sein. Es müssten auch alle 1-Tupen bzw. 2 Tupel dieser Gestalt in [mm] $\mathcal{F}_3$ [/mm] sein, da ja [mm] $\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \mathcal{F}_3$ [/mm] gilt.
Ist meine Vorstellung so korrekt?
>
> die Stoppzeit ist eine Zufallsvariable in unserem Beispiel
> gibt sie dann die zufällige zeit an, nach der zum ersten
> mal 3 siege eingetreten sind.
Ah okay, ich versteh es nun besser. Das heißt ich stecke ein [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] in die Abbildung der Stoppzeit und erhalte dann die Stoppzeit.
Nehmen wir dein Beispiel mit 3 Siegen:
Sei [mm] $\omega [/mm] = (1,-1,1,1,1) [mm] \in \Omega$
[/mm]
Wäre dann beispielsweise die Stoppzeit [mm] $T(\omega)$ [/mm] gerade 4, weil ich für dieses [mm] $\omega$ [/mm] im 4. Spiel 3Mal gewonnen hab?
Herzlichen Dank für die Hilfe schon mal im Voraus.
Gruß, Dester
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 14.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
im Großen und Ganzen denkst du schon richtig, aber wenn du als [mm] \Omega [/mm] alle möglichen Folgen von -1 und 1 zu grunde legst, dann können in deinen Filtrationen keine Tripel sein.
deshalb arbeite mit Zylindermengen z.B bedeutet: [-1,1] dass [mm] X_1 [/mm] = -1 und [mm] X_2 [/mm] = 1 und die restlichen beliebig sind.
Wenn du [mm] \Omega [/mm] so definierst und die Abbildungen [mm] X_i [/mm] als [mm] X_i(\omega) [/mm] = [mm] w_i [/mm] auffast dann hast du durch die unabhängigkeit und durch die verteilung der [mm] X_i [/mm] ein W-Maß auf deinen Filtrationen.
[mm] F_1=\sigma{(S_1)}
[/mm]
[mm] F_1 [/mm] = [mm] \{\emptyset, [-1], [1], \Omega \}
[/mm]
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Sa 14.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Hi Vivo, danke.
Also wäre:
[mm] $\mathcal{F}_2 [/mm] = [mm] \{\emptyset, [-1,1],[1,1],[-1,-1],[1,-1], \Omega\} [/mm] $
Damit hätte ich ja [mm] $\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2$ [/mm] erfüllt, oder?
Muss ich nicht außerdem meine Menge [mm] $\mathcal{F}_2$ [/mm] z.B. noch um {[1,1],[-1,1]} für die "oder"-Ereignisse ergänzen?
Könntest du auch nochmal auf meine Frage zu der Stoppzeit eingehen? (wenn ich aus den Tupeln jetzt deine Definition verwende). Das wäre echt klasse. Du hilfst mir wirklich sehr weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Sa 14.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
keine ursache, aber du hast recht in den [mm] \sigma-A. [/mm] müssen die Vereinigungen und Schnittmengen auch liegen auch in [mm] F_1 [/mm] muss die Vereinigung von [1] und [-1] liegen der Schnitt ist ja leer das hab ich vergessen sorry. deshalb schreiben wir lieber
[mm] \sigma [/mm] ([...]) dass ist dann die kleinste von den zylindermengen erzeugte [mm] \sigma [/mm] -A.
ja mit der stoppzeit hast du es genau richtig geschildert. es ist eine zufallsvariable die in unserem beispiel die zeit wann drei siege zum ersten mal eintreten wieder gibt, du könntest dir im vorliegenden kontext auch mal überlegen wie die dann wohl verteilt ist.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 14.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Vielen vielen Dank.  Habe es nun begriffen.
Ja, sehr gute Frage. Ich habe mal gelesen, "Wartezeiten" seien Exponential-verteilt? Wobei ich spontan eher auf eine Poisson-Verteilung getippt hätte mit k=3 Treffern. So spontan würde ich das aber nicht zeigen können und müsste es nochmal genauer überlegen.
Wie wäre es denn richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 So 15.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
dieser prozess hat nichts mit einem poissonprozess zu tun und unsere beispiel stoppzeit ist keine wartezeit in einem solchen.
also dass unsere stoppzeit den wert drei annimmt hat doch w.-keit 1/8 dass sie 4 wird hat w.-keit .... .... ....
und dann ist die stoppzeit negativ binomialvertielt.
der prozess ist im übrigen auch ein martingal bezüglich der oben definierten filtrationen.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 So 15.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Hab mir das mit der negativen Binomialverteilung nochmal angeschaut und auch verstanden.
Herzlichen Dank dir nochmals für die Hilfe und Mühe.
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