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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Fr 23.07.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Ist folgender Satz wahr? (Keine Aufgabenstellung, sondern ich bräuchte ihn für einen Beweis).
Sei [mm] g:I:=(0,1)\to\IR [/mm] eine meßbare Funktion. Für ein [mm] x_0\in [/mm] I sei g stetig mit [mm] y_0:=g(x_0). [/mm] Dann existiert eine Folge von stetigen und beschränken Funktionen [mm] f_n:\IR\to\IR [/mm] mit [mm] \limes_{n\to\infty}\integral_If_n\circ gd\lambda=y_0.
[/mm]
Meine Idee ist ein [mm] f_n(y) [/mm] von folgender Form: Der Graph läuft auf einem Intervall [mm] [y_0-h_n,y_0+h_n] [/mm] wie [mm] y/(2h_n). [/mm] An den Enden fällt er jeweils über den Intervallen [mm] [y_0-h_n-k_n,y_0-h_n] [/mm] und [mm] [y_0+h_n,y_0+h_n+k_n] [/mm] auf null ab. Dabei soll [mm] k_n [/mm] schneller gegen null laufen als [mm] h_n. [/mm] Das ganze sieht also aus wie ein Trapez mit einer horizontalen Grundseite, einer schrägen aufsteigenden gegenüberliegenden Seite und mit zwei steil abfallenden Seiten.
Funktioniert das?
LG
gfm
P.S.: Hab die Frage nur hier gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 Sa 24.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Meinst du, dass jedes [mm] $f_n$ [/mm] beschränkt auf (0,1) ist oder, dass die Folge [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] sogar gleichmäßig beschränkt sein soll?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Sa 24.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Meinst du, dass jedes [mm]f_n[/mm] beschränkt auf (0,1) ist oder,
> dass die Folge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] sogar gleichmäßig
> beschränkt sein soll?
>
Die [mm] f_n:\IR\to\IR [/mm] sollen stetig und beschränkt auf [mm] \IR [/mm] sein. Sie sollen sich so auf einen Punkt "zusammenziehen", dass halt [mm] \integral_0^1f_n(g(y))dy\to g(y_0) [/mm] gilt.
Der Hintergrund ist, dass für eine beliebige stetige und beschränkte Funktion [mm] f:\IR\to\IR, [/mm] wobei [mm] g_n,g:(0,1)\to\IR [/mm] monotone linksstetige Funktionen mit rechten Grenzwerten sind,
[mm]\limes_{n\to\infty}\integral_0^1 f(g_n(y))dy=\integral_0^1 f(g(y))dy[/mm]
als Zwischenergebnis erhalten wurde. Man möchte zeigen, dass [mm] g_n(y_0)\to g(y_0) [/mm] an einer Stetigkeitsstelle [mm] y_0 [/mm] von g gilt.
Die Idee ist eine Folge [mm] f_k:\IRto\IR [/mm] zu konstruieren, die im Integral in der Grenze [mm] g(y_0) [/mm] liefert, sodass man dann
[mm]g_n(y_0)+\limes_{n\to\infty}a_{n,k}=g(y_0)+b_k[/mm]
erhält, wobei [mm] b_k [/mm] und [mm] A_k:=\limes_{n\to\infty}a_{n,k} [/mm] dann hoffentlich Nullfolgen sind.
LG
gfm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Sa 24.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Du kannst doch einfach [mm] $f_n(x)=y_0$ [/mm] setzen... oder hab ich da was übersehen?
Gruß, Robert
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 12:17 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
nein, hast du nicht. Wollte ich auch antworten, kam mir dann aber irgendwie zu trivial vor und habs darum sein gelassen............ aber da du es ja anscheinend auch so siehst, scheints zu stimmen 
MFG,
Gono.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:37 Sa 24.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Du kannst doch einfach [mm]f_n(x)=y_0[/mm] setzen... oder hab ich da
> was übersehen?
>
Ja, das habe ich vergessen: Die [mm] f_n [/mm] sollen nicht konstant sein.
Ich will ja aus [mm] \integral_0^1f(g_n(y))dy\to\integral_0^1f(g(y))dy [/mm] für alle stetigen und beschränkten f auf [mm] g_n(y_0)\to g(y_0) [/mm] schließen, wenn [mm] y_0 [/mm] eine Stetigkeitsstelle von g ist.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:36 So 25.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Ehrlichgesagt verstehe ich den Gesamtkontext noch nicht so richtig. Warum dürfen die [mm] f_k [/mm] nicht konstant sein?!
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Mo 26.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Ehrlichgesagt verstehe ich den Gesamtkontext noch nicht so
> richtig. Warum dürfen die [mm]f_k[/mm] nicht konstant sein?!
>
> Gruß, Robert
Nimm an du hättest gezeigt
[mm] \integral_0^1f(g_n(y))dy\to\integral_0^1f(g(y))dy
[/mm]
für alle stetigen beschränkten Funktionen [mm] f:\IR\to\IR. [/mm] Und [mm] g_n,g [/mm] sind dabei reellwertige, monotone und linksstetige Funktionen auf (0,1) mit rechten Grenzwerten.
Aus gehend von diesem Ergebnis möchtest du nun zeigen, dass [mm] g_n(y_0)\to g(y_0) [/mm] gilt , wenn [mm] y_0 [/mm] eine Stetigkeitsstelle von g ist.
Wenn Du [mm] f_k=g(y_0) [/mm] setzt, steht da nur [mm] g(y_0)\to g(y_0).
[/mm]
Meine Hoffnung ist, durch eine spezielle Wahl der [mm] f_k, [/mm] den Verlauf von [mm] g_n [/mm] und g bei [mm] y_0 [/mm] so "einzufangen", dass eben am Ende [mm] g_n(y_0)\to g(y_0) [/mm] herauskommt.
Ist das überhaupt möglich?
LG
gfm
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