Fibonaccifolge Beweis Formel < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Fr 29.11.2013 | | Autor: | flexi1 |
Hallo,
ich hätte mal wieder eine Frage zur Fiboaccifolge:
Vorweg zum Sicherheit die Definition für die Fibonaccifolge (die Null wird hierbei weggelassen)
[mm] f_1=f_2=1,\;\;\;f_{n+2}=f_n+f_{n+1} [/mm]
Für die Berechnung der ersten n-Fibonaccizahlen mit ungeraden Index gibt es folgende Formel:
[mm] \summe_{i=1}^{n} f_{2i-1}=f_{2n} [/mm]
Soweit so klar. Allerdings habe ich Probleme bei dem Beweis der Formel:
Man kann ja sagen das [mm] f_1=f_2=1 [/mm] ist und [mm] f_{2i-1} =f_{2i}-f_{2i-2} [/mm] für [mm] i\ge2 [/mm] .
Nun soll die linke Seite in der Form [mm] f_{2}+\summe_{i=2}^{n}(f_{2i}-f_{2i-2}) [/mm] = [mm] f_{2n} [/mm] darstellbar sein, was ja dann genau die Behauptung wäre.
Irgendwie kann ich das nicht so ganz nachvollziehen.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke schon mal im voraus. ;)
LG
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Fr 29.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich hätte mal wieder eine Frage zur Fiboaccifolge:
>
> Vorweg zum Sicherheit die Definition für die
> Fibonaccifolge (die Null wird hierbei weggelassen)
> [mm]f_1=f_2=1,\;\;\;f_{n+2}=f_n+f_{n+1}[/mm]
>
> Für die Berechnung der ersten n-Fibonaccizahlen mit
> ungeraden Index gibt es folgende Formel:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} f_{2i-1}=f_{2n}[/mm]
> Soweit so klar. Allerdings habe ich Probleme bei dem Beweis
> der Formel:
> Man kann ja sagen das [mm]f_1=f_2=1[/mm] ist und [mm]f_{2i-1} =f_{2i}-f_{2i-2}[/mm]
> für [mm]i\ge2[/mm] .
> Nun soll die linke Seite in der Form
> [mm]f_{2}+\summe_{i=2}^{n}(f_{2i}-f_{2i-2})[/mm] = [mm]f_{2n}[/mm]
> darstellbar sein, was ja dann genau die Behauptung wäre.
> Irgendwie kann ich das nicht so ganz nachvollziehen.
> Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
> Danke schon mal im voraus. ;)
> LG
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
werden wir doch mal konkret:
[mm]\summe_{i=1}^{n} f_{2i-1}[/mm] bedeutet [mm] $f_1$+$f_3$+$f_5$+...
[/mm]
Dabei lässt sich [mm] $f_1$ [/mm] aus verständlichen Gründen nicht unter Bezug auf vorhergegende Folgenglieder darstellen, aber ab [mm] $f_3$ [/mm] ist dies möglich.
So ist es laut deiner Formel [mm]f_{2i-1} =f_{2i}-f_{2i-2}[/mm] möglich,
[mm] $f_3$ [/mm] als [mm] $f_4-f_2$, $f_5$ [/mm] als [mm] $f_6-f_4$, $f_7$ [/mm] als [mm] $f_8-f_6$ [/mm] darzustellen.
Aus [mm] $f_1$+$f_3$+$f_5$+...wird [/mm] somit
[mm] $f_1$+($f_4-f_2$)+($f_6-f_4$)+($f_8-f_6$)+...
[/mm]
Da subtrahiert sich so gut wie alles weg.
Übrig bleiben [mm] $f_1$ [/mm] und in der letzten addierten Klammer das f mit dem höchsten vorkommenden Index.
Gruß Abakus
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