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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Cora4ka |
| Aufgabe | Hallo alle zusammen!
Würd mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte:
[mm] a_{1}*\bruch{1}{2}(1+\wurzel{5})+a_{2}*\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})=1
[/mm]
[mm] a_{1}*\bruch{1}{2}(1+\wurzel{5})^{2}+a_{2}*\bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})^{2}=1
[/mm]
wie kommt man da zu [mm] a_{1}= \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] ; [mm] a_{2}=-\bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] |
Beweisen sie die Formel von Moivre-Binet durch vollständige Induktion.
Wie soll das gehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Induktionshilfen gibt es eigentlich genug, deswegen führe ich sie einfach mal aus:
Induktionsanfang: n = 0 und n = 1:
Zu zeigen: [mm] a_{0} [/mm] = 0 und [mm] a_{1} [/mm] = 1
Beweis: Man setzt n = 0 und n = 1 in die allgemeine Form der Formel ein:
[mm] a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{0} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{0}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*(1-1) [/mm] = 0.
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*(\wurzel{5}) [/mm] = 1.
Also stimmt die Formel offenbar für 0 und 1, der Induktionsanfang ist geschafft.
Nun der Induktionsschritt: Wir dürfen als gegeben benutzen, dass
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n})
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})
[/mm]
Und müssen zeigen, dass dann gilt:
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+2} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+2}).
[/mm]
BEWEIS:
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n}, [/mm]
nach Voraussetzung also
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-(\wurzel{5}}{2})^{n+1})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}*(1 [/mm] + [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}) [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}*(1 [/mm] + [mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2}))
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}*(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}*(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{2})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+2} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+2}).
[/mm]
Fertig! Wir haben hergeleitet, was nun [mm] a_{n+2} [/mm] sein müsste!
(Übrigens wurde benutzt:
1 + [mm] \bruch{1\pm \wurzel{5}}{2}
[/mm]
= 1 + [mm] \bruch{2\pm 2\wurzel{5}}{4}
[/mm]
= [mm] \bruch{6 \pm 2\wurzel{5}}{4}
[/mm]
= [mm] \bruch{1 \pm 2\wurzel{5} + 5}{4}
[/mm]
= [mm] (\bruch{1 \pm \wurzel{5}}{2})^{2}
[/mm]
Guck es dir mal genau an, eigentlich dürfte alles klar sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Cora4ka |
| Aufgabe | Ok, danke erstmal.
Und kann mir bitte noch jmd. sagen wie ich aus den beiden obenstehenden Gleichungen auf [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] komme? Also wenn man das nachrechnen würde? |
Ok, danke erstmal.
Und kann mir bitte noch jmd. sagen wie ich aus den beiden obenstehenden Gleichungen auf [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] komme? Also wenn man das nachrechnen würde?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Cora4ka |
| Aufgabe | Ok, danke erstmal.
Und kann mir bitte noch jmd. sagen wie ich aus den beiden obenstehenden Gleichungen auf [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] komme? Also wenn man das nachrechnen würde? |
Ok, danke erstmal.
Und kann mir bitte noch jmd. sagen wie ich aus den beiden obenstehenden Gleichungen auf [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] komme? Also wenn man das nachrechnen würde?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mo 07.01.2008 | | Autor: | chrisno |
Hallo Cora4ka,
löse beide Gleichungen nach a-1 auf. (Also [mm] a_1 [/mm] = ...)
Dann setze die beiden Terme für [mm] a_1 [/mm] gleich.
Dann sortiere dies so lange um, bis da [mm] a_2 [/mm] = ... da steht.
Dann setze diesen Wert für [mm] a_2 [/mm] in eine der beiden Gleichungen für [mm] a_1 [/mm] ein.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Cora4ka |
Ok, danke. Das muss ich mir erst mal näher ansehen...
Nun habe ich ein Problem bei der Herleitung.
[mm] q^{2}-q-1=0
[/mm]
wieso rechnet man bei der Lösungsfindung:
[mm] \bruch{1\pm\wurzel{1-4*1*(-1)}}{2}
[/mm]
Das, was unter der Wurzel steht leuchtet mir nicht ein????
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Da wurde offenbar die Lösungsformel für quadratische Gleichungen angewandt und dann noch ein bisschen umgeformt (bzw. es wurde eine schon umgeformte quadratische Lösungsformel benutzt):
[mm] q^2 [/mm] + a*q + b = 0
Bei dir ist:
a = -1
b = -1
Quadratische Lösungsformel:
[mm] q_{1/2} [/mm] = [mm] -\bruch{a}{2} \pm \wurzel{(-\bruch{a}{2})^{2}-b}
[/mm]
Speziell hier für a = -1 und b = -1
[mm] q_{1/2} [/mm] = [mm] -\bruch{-1}{2} \pm \wurzel{(-\bruch{-1}{2})^{2}-(-1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \pm \wurzel{(\bruch{1}{2})^{2}-(-1)}
[/mm]
Und nun wurde praktisch überall [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ausgeklammert:
[mm] q_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(1 \pm [/mm] 2 * [mm] \wurzel{(\bruch{1}{2})^{2}-(-1)})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*(1 \pm \wurzel{4} [/mm] * [mm] \wurzel{(\bruch{1}{2})^{2}-(-1)})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*(1 \pm \wurzel{4 * ((\bruch{1}{2})^{2}-(-1))})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*(1 \pm \wurzel{4 * \bruch{1}{4}- 4 * (-1)})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*(1 \pm \wurzel{1 - 4 * (-1)})
[/mm]
= [mm] \bruch{1 \pm \wurzel{1 - 4 * (-1)}}{2}
[/mm]
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