Fibonacci < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Di 08.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe der Vollständigen Induktion
F(n-1)F(n+1) = [mm] f_n^2 [/mm] +1 für n [mm] \in \IN [/mm] , n gerade
Die folge ist folgendermaßen Definiert!
[mm] F_1:= [/mm] 1, [mm] F_2:= [/mm] 1 , [mm] F_n:= [/mm] F_(n-1) + F_(n+2), für n= 3,4 ... |
Hallo zusammen,
ich bräuchte dringend Hilfe für oben genannte Aufgabe.
Und zwar gehts mir da wieder um den I.S ...
I.A. n=2
[mm] F_1 [/mm] * [mm] F_3 [/mm] = [mm] F_2^2 [/mm] + 1
I.S. n -> n+2 (wegen n gerade)
F_(n+1) * F_(n+3) = F_(n+2) ^2 +1
Kann mir jemand hierbei behilflich sein?
Danke und Grüße
Bodo0686
Diese Frage habe ich noch in keinem weiteren Forum gestelllt!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Di 08.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Zuerst mal:
Die Fibonacci-Zahlen sind wie folgt definiert:
[mm] f_{n}:=f_{n-1}+f_{n\red{-}2}
[/mm]
[mm] f_{1}:=1, f_{2}:=1
[/mm]
[mm] f_{n+2} [/mm] macht keinen Sinn, da dier Wert noch nicht bekannt ist.
Also:
Ind-Anf. (n=3):
[mm] f_{3}=1+1=2, f_{4}=2+1=3
[/mm]
[mm] f_{3-1}*f_{3+1}=f_{2}*f_{4}=2+3=5=4+1=2²+1=f_{3}²+1
[/mm]
Ind-Vorauss.
für ein n gelte besagte Formel.
Ind-Schritt:
[mm] f_{n-1}*f(n+1)=(f_{n-3}+f_{n-2})(f_{n-1}+f_{n})=...
[/mm]
Hilft das erstmal weiter?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Di 08.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo.
>
> Zuerst mal:
>
> Die Fibonacci-Zahlen sind wie folgt definiert:
>
> [mm]f_{n}:=f_{n-1}+f_{n\red{-}2}[/mm]
> [mm]f_{1}:=1, f_{2}:=1[/mm]
>
>
> [mm]f_{n+2}[/mm] macht keinen Sinn, da dier Wert noch nicht bekannt
> ist.
>
> Also:
> Ind-Anf. (n=3):
> [mm]f_{3}=1+1=2, f_{4}=2+1=3[/mm]
In der Aufgabe steht, dass n gerade sein soll, aber warum setzt du jetzt n=3?
> [mm]f_{3-1}*f_{3+1}=f_{2}*f_{4}=2+3=5=4+1=2²+1=f_{3}²+1[/mm]
>
> Ind-Vorauss.
>
> für ein n gelte besagte Formel.
>
> Ind-Schritt:
>
> [mm]f_{n-1}*f(n+1)=(f_{n-3}+f_{n-2})(f_{n-1}+f_{n})=...[/mm]
>
> Hilft das erstmal weiter?
>
> Marius
>
Nicht wirklich, ich muss ja schließen das [mm] F_{n-1} F_{n+1} [/mm] = [mm] F_n^2 [/mm] +1 ergibt im I.A.
So, und im I.S soll das ganze ja für n - > n+1 gezeigt, da aber n gerade sein soll, müsste man doch
eigentlich für n=2 setzen...???
Wie du auf den I.S kommst is mir ein bisschen unklar...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Di 08.05.2007 | | Autor: | Ankh |
> In der Aufgabe steht, dass n gerade sein soll, aber warum
> setzt du jetzt n=3?
Richtig, du solltest mit n=2 anfangen.
> Nicht wirklich, ich muss ja schließen das [mm]F_{n-1} F_{n+1}[/mm] =
> [mm]F_n^2[/mm] +1 ergibt im I.A.
> So, und im I.S soll das ganze ja für n - > n+1 gezeigt, da
> aber n gerade sein soll, müsste man doch
> eigentlich für n=2 setzen...???
Im Induktionsschritt musst du von der Aussage für [mm] F_n [/mm] auf die Aussage für [mm] F_{n+2} [/mm] schließen (nicht [mm] F_{n+1}), [/mm] da wir nur gerade n betrachten.
>
> Wie du auf den I.S kommst is mir ein bisschen unklar...
Dort musst du die Definition der Folge einsetzen. (Ein Folgenglied ist die Summe seiner beiden Vorgänger.)
|
|
|
|
