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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 So 22.11.2009 | | Autor: | Olga1234 |
| Aufgabe | Aufgabe 2 6 Punkte
Die Fibonaccifolge (an) ist rekursiv definiert durch [mm] a_{1} [/mm] = 1, [mm] a_{2} [/mm] = 1, [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + an−1 für n [mm] \le [/mm] 2.
Beweisen Sie f¨ur alle n [mm] \in \IN [/mm] die Darstellung
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}].
[/mm]
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Ich weiß nicht, wie man das beweisen soll.
mittels vollständiger induktion stellt sich als sehr kompliziert heraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe 2 6 Punkte
> Die Fibonaccifolge (an) ist rekursiv definiert durch [mm]a_{1}[/mm]
> = 1, [mm]a_{2}[/mm] = 1, [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] + an−1 für n [mm]\le[/mm] 2.
> Beweisen Sie f¨ur alle n [mm]\in \IN[/mm] die Darstellung
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}].[/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie man das beweisen soll.
> mittels vollständiger induktion stellt sich als sehr
> kompliziert heraus.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Vollständige Induktion sollte hier funktionieren.
Stell mal vor, wie weit Du bisher gekommen bist und an welcher Stelle es scheitert.
Liegt es vielleicht nurdaran, daß Du nicht siehst, daß [mm] \bruch{3+\wurzel{5}}{2}=(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^2 [/mm] ?.
Dein Eingangspost sieht so aus, als könntest Du mit der Formeleingabe ganz gut umgehen, ansonsten finden sich unterhalb des Eingabefensters Hilfen.
Ein Klick auf "Vorschau" zeigt Dir, wie dein Post beim Absenden aussehen würde. (Dies nur, weil ja einige Brüche und Würzelchen vorkommen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 22.11.2009 | | Autor: | Olga1234 |
Induktionsanfang habe ich mit n= 1 und n = 2 gemacht und das ist ja eigentlich nicht so schwer.
problematisch ist der induktionsschritt.
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1}]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} (\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n} (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})]
[/mm]
und genau hier weiß ich nicht weiter.
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> Induktionsanfang habe ich mit n= 1 und n = 2 gemacht und
> das ist ja eigentlich nicht so schwer.
>
> problematisch ist der induktionsschritt.
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1}[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1}][/mm]
Das ist das, was im Induktionschritt zu zeigen ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung.
Wie lautet Deine Induktionsvoraussetzung?
Gruß v. Angela
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n} (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})][/mm]
>
> und genau hier weiß ich nicht weiter.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 22.11.2009 | | Autor: | Olga1234 |
aber entspricht das schon der induktionsvorraussetzung?
muss man das nciht noch auseinander ziehen?
also:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} (\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n} (\bruch{1\wurzel{5}}{2})]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}) [/mm] ( [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2}) [/mm] - [mm] (\bruch{1\wurzel{5}{2}})] [/mm] ?
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> aber entspricht das schon der induktionsvorraussetzung?
> muss man das nciht noch auseinander ziehen?
Hallo,
es ist manchmal so schwer zu wissen, was genau jemand mit "das" meint...
Im Induktionsschritt werden wir u.a. auf die rekursive Definition Deiner Folge zurückgreifen müssen: [mm] a_{n+1}=a_n+ a_{n-1}.
[/mm]
Um dies tun zu können, müssen wir unsere Induktionsvorrausetzung für [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n-1} [/mm] machen.
Den Keim dafür hast Du ja bereits gelegt, indem Du den Induktionsanfang für n=1 und n=2 gemacht hast.
Also:
Induktionsvoraussetzung:
Es gelte
[mm] a_{n-1}=$ \bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] $ - $ [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1}] [/mm] $
und
[mm] a_n=$ \bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] $ - $ [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}] [/mm] $
für ein n aus [mm] \IN.
[/mm]
Indukionsschluß:
Zu zeigen: Dann gilt die Aussage auch für n+1, dh. es ist
[mm] a_{n+1}=$ \bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} [/mm] $ - $ [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1}]
[/mm]
Beweis:
[mm] a_{n+1}= a_n+a_{n-1} [/mm] (nach Definition der Folge
= ... + ... (nach Induktionsvoraussetzung)
= ... =... = ...= ....= ...=$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} [/mm] $ - $ [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1}]
[/mm]
Versuch's jetzt mal.
>
> also:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n} (\bruch{1\wurzel{5}}{2})][/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} [(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}[/mm] -
> [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n})[/mm] ( [mm](\bruch{1+\wurzel{5}}{2})[/mm]
> - [mm](\bruch{1\wurzel{5}{2}})][/mm] ?
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