Fermatsche (prim)zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:30 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Arnbert |
Guten Abend!Habe folgendes Problem,bei dem ich bitte Hilfe benötige. [mm] F_{n} [/mm] = [mm] 2^{2^{n}} [/mm] +1 mit n aus [mm] \IN_{0} [/mm] soll die n-te Fermatsche PrimZahl sein.
Wie zeige ich jetzt, dass wenn p Primteiler von [mm] F_{n} [/mm] , so gibt es ein [mm] k\in \IN [/mm] mit [mm] p=k*2^{(n+1)}+1.
[/mm]
ich weiß z.B. dass erstens: [mm] 2^{2^{n+1}}\equiv [/mm] 1 mod p und zweitens: e minimal [mm] \Rightarrow e|2^{n+1} [/mm]
mit [mm] 2^{e}\equiv [/mm] 1 mod p für e>0 und e minimal.
Kann ich das hier nicht schon draus folgern? wie genau?
Danke schon mal.
gruß arnbert
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Hallo Arnbert,
> Guten Abend!Habe folgendes Problem,bei dem ich bitte Hilfe
> benötige. [mm]F_{n}[/mm] = [mm]2^{2^{n}}[/mm] +1 mit n aus [mm]\IN_{0}[/mm] soll die
> n-te Fermatsche PrimZahl sein.
Tja, so geht's wohl nicht :-(: Schon Euler bewies, daß [mm] $F_5$ [/mm] keine Primzahl ist. Und zumindest GAP sagt mir, daß auch [mm] $F_6,F_8$ [/mm] keine sind.
> Wie zeige ich jetzt, dass wenn p Primteiler von [mm]F_{n}[/mm] , so
> gibt es ein [mm]k\in \IN[/mm] mit [mm]p=k*2^{(n+1)}+1.[/mm]
Wie das? Einerseits soll $p$ Primteiler sein, aber andererseits soll $p$ einen nichttrivialen Teiler haben?
Und bis jetzt hab ich noch kein zusammengesetztes [mm] $F_n$ [/mm] gefunden, das einen Teiler der Form [mm] $2^{m}+1$ [/mm] hat.
Eine rekursive Definition von [mm] $F_n$:[/mm] [mm]F_0=3, F_{n}=\prod_{i=1}^{n-1} F_{i} +2\quad \text{für $n>0$}[/mm]. Dann kann aber ein Primteiler $p$ von [mm] $F_{n}$ [/mm] nicht Teiler von [mm] $F_{n+1}$ [/mm] sein.
Mfg
zahlenspieler
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