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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Fehlerintegrale
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Fehlerintegrale: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 So 01.01.2012
Autor: kalifat

Aufgabe
Ich habe mir soeben das Fehlerintegral zu Gemüte geführt, blicke jedoch bei einem nicht ganz durch.

[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-t*x^2} dx}=\bruch{1}{\wurzel{t}} [/mm]

Wie genau wurde hier substituiert um dann evt. mithilfe der Gamafunktion das daraus entstandene Integral zu berechnen? Ich habe verschiedenstens ausprobiert, komme aber nicht drauf.

        
Bezug
Fehlerintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 So 01.01.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich habe mir soeben das Fehlerintegral zu Gemüte geführt,
> blicke jedoch bei einem nicht ganz durch.
>  
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*x^2} dx}=\bruch{1}{\wurzel{t}}[/mm]     [notok]

Das stimmt so nicht, allerdings nur bis auf einen
konstanten Faktor.
  

> Wie genau wurde hier substituiert um dann evt. mithilfe der
> Gamafunktion das daraus entstandene Integral zu berechnen?


Die Gammafunktion braucht man nicht, aber eine Idee, dieses
Integral durch eine geschickte Substitution auf ein Integral
über [mm] \IR^2 [/mm] zurückzuführen, welches man mittels Polarkoordinaten
leicht lösen kann.
Eine solche Herleitung findest du z.B. []da.

LG   Al-Chw.

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Fehlerintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 So 01.01.2012
Autor: kalifat

Danke für den Hinweis. Wenn ich also [mm] I^2 [/mm] bilde und dies zusammenfasse erhalte ich folgendes Doppelintegral

[mm] \integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*(x^2+y^2)} dx} dy} [/mm]

Durch Polarkoordinatentransformation

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*r^2}*r dr} dt} [/mm]

Da lässt sich dann aber keine elementare Lösung für das äußere Integral finden.

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Bezug
Fehlerintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:24 So 01.01.2012
Autor: kalifat

Ich habe jetzt denke ich einen Weg gefunden.

Und zwar habe ich die Ausgangsgleichung substituiert mit [mm] x=\wurzel{t}*u [/mm]

[mm] =>\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^2}*\bruch{1}{\wurzel{t}} dx}=\bruch{1}{\wurzel{t}}*\bruch{\wurzel{\pi}}{2} [/mm] da im Skriptum bereits [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x^2} dx} [/mm] berechnet wurde (Mittels Polarkoorindtanetransformation)

Jetzt habe ich hier noch ein weiteres Integral bei dem ich auf keine passende Substitution oder etwas dergleichen gekommen bin.

[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2+ax}dx} [/mm]

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Bezug
Fehlerintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:11 Mo 02.01.2012
Autor: leduart

Hallo
[mm] -x^2+ax=-(x-a/2)^2+a^2/4 [/mm]
dann x-a/2=z
Gruss leduart

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Fehlerintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:20 Mo 02.01.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Danke für den Hinweis. Wenn ich also [mm]I^2[/mm] bilde und dies
> zusammenfasse erhalte ich folgendes Doppelintegral

  

> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*(x^2+y^2)} dx} dy}[/mm]

  

> Durch Polarkoordinatentransformation
>  
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*r^2}*r dr} dt}[/mm]     [haee]


1.) Das t im gegebenen Integral ist eine Konstante
    und hat nichts mit der Winkelkoordinate in
    Polarkoordinaten zu tun !

2.) Diese Winkelkoordinate - nennen wir sie [mm] \alpha [/mm] -
    sollte im vorliegenden Fall nur von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] laufen:

  [mm] $\integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*(x^2+y^2)} dx} dy}\ [/mm] =\ [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*r^2}\,*r\ dr}\ d\alpha}$ [/mm]

Nun kommt der zusätzliche Faktor r (aus der Transfor-
mation des Differentials) wunderbar gelegen, um die
weitere Transformation bzw. Substitution  $\ [mm] u:=-t*r^2$ [/mm]
vorzunehmen.

LG   Al-Chw.
  
  

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Fehlerintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 Mo 02.01.2012
Autor: kalifat

Danke für die Antwort, eine andere Methode habe ich in dem Beitrag danach bereits geschrieben.
Eine Verständnisfrage hätte ich jedoch noch; wie kann ich erkennen das in diesem Fall die Winkelkoordinate nur bi [mm] \pi/2 [/mm] läuft und nicht bis [mm] 2\pi, [/mm] also gibt es hier irgendeinen allgemeinen Trick.

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Fehlerintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 Mo 02.01.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Danke für die Antwort, eine andere Methode habe ich in dem
> Beitrag danach bereits geschrieben.
> Eine Verständnisfrage hätte ich jedoch noch; wie kann ich
> erkennen das in diesem Fall die Winkelkoordinate nur bis
> [mm]\pi/2[/mm] läuft und nicht bis [mm]2\pi,[/mm] also gibt es hier
> irgendeinen allgemeinen Trick.

Schau dir das Integrationsgebiet in der x-y-Ebene an !

LG


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