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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den absoluten und relativen Fehlerberreich des Näherungspolynoms [mm] T_{5}(x) [/mm] der Funktion [mm] f(x)=x^{3}*ln(x) [/mm] für x=2 um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=1. [/mm] |
Hallo,
was ist mit absolutem und relativem Fehlerbereich gemeint? Bin ich schon auf dem richtigen Weg, wenn ich das Taylorpolynom [mm] T_{5}(x) [/mm] inklusive dem Restglied [mm] R_{n}(x) [/mm] aufgestellt habe?
[mm] T_{5}(x)=\bruch{1}{1!}(x-1)^{1}+\bruch{5}{2!}(x-1)^{2}+\bruch{11}{3!}(x-1)^{3}+\bruch{6}{4!}(x-1)^{4}-\bruch{6}{5!}(x-1)^{5}
[/mm]
[mm] R_{n}(x)=|\bruch{f^{(6)}(\xi)}{6!}(x-1)^{6}|=|\bruch{\bruch{12}{\xi^{3}}}{6!}(x-1)^{6}|=|\bruch{12}{\xi^{3}*6!}(x-1)^{6}|=|\bruch{12}{\xi^{3}*5!*6}(x-1)^{6}|=|\bruch{2}{\xi^{3}*5!}(x-1)^{6}|
[/mm]
Ich muss doch jetzt irgendwo x=2 einsetzen und damit was anstellen, richtig? Aber wo...
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Mo 15.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den absoluten und relativen Fehlerberreich
> des Näherungspolynoms [mm]T_{5}(x)[/mm] der Funktion
> [mm]f(x)=x^{3}*ln(x)[/mm] für x=2 um den Entwicklungspunkt
> [mm]x_{0}=1.[/mm]
> Hallo,
>
> was ist mit absolutem und relativem Fehlerbereich gemeint?
> Bin ich schon auf dem richtigen Weg, wenn ich das
> Taylorpolynom [mm]T_{5}(x)[/mm] inklusive dem Restglied [mm]R_{n}(x)[/mm]
> aufgestellt habe?
>
> [mm]T_{5}(x)=\bruch{1}{1!}(x-1)^{1}+\bruch{5}{2!}(x-1)^{2}+\bruch{11}{3!}(x-1)^{3}+\bruch{6}{4!}(x-1)^{4}-\bruch{6}{5!}(x-1)^{5}[/mm]
>
> [mm]R_{n}(x)=|\bruch{f^{(6)}(\xi)}{6!}(x-1)^{6}|=|\bruch{\bruch{12}{\xi^{3}}}{6!}(x-1)^{6}|=|\bruch{12}{\xi^{3}*6!}(x-1)^{6}|=|\bruch{12}{\xi^{3}*5!*6}(x-1)^{6}|=|\bruch{2}{\xi^{3}*5!}(x-1)^{6}|[/mm]
>
>
> Ich muss doch jetzt irgendwo x=2 einsetzen und damit was
> anstellen, richtig? Aber wo...
Für x=2 ist [mm] |f(2)-T_5(2)|=|\bruch{2}{\xi^{3}*5!}| [/mm] und 1 [mm] \le \xi \le [/mm] 2
Hilft das ?
fred
>
> Gruß, Andreas
>
>
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> Für x=2 ist [mm]|f(2)-T_5(2)|=|\bruch{2}{\xi^{3}*5!}|[/mm] und 1
> [mm]\le \xi \le[/mm] 2
>
> Hilft das ?
Also, ich verstehe was dort steht. Für die Taylorsche Formel gilt ja [mm] f(x)=f_{n}(x)+R_{n}(x) [/mm] und das ist oben umgestellt nach [mm] f(x)-f_{n}(x)=R_{n}(x). [/mm] Und [mm] \xi [/mm] liegt zwischen x und [mm] x_{0}.
[/mm]
Ich bin mir nur nicht sicher was ich jetzt wirklich machen soll. Soll ich die Subtraktion links vom Gleichheitszeichen durchführen? Das Ergebnis ist dann mein relativer Fehler?
Gruß, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:18 Di 16.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Für x=2 ist [mm]|f(2)-T_5(2)|=|\bruch{2}{\xi^{3}*5!}|[/mm] und 1
> > [mm]\le \xi \le[/mm] 2
> >
> > Hilft das ?
>
> Also, ich verstehe was dort steht. Für die Taylorsche
> Formel gilt ja [mm]f(x)=f_{n}(x)+R_{n}(x)[/mm] und das ist oben
> umgestellt nach [mm]f(x)-f_{n}(x)=R_{n}(x).[/mm] Und [mm]\xi[/mm] liegt
> zwischen x und [mm]x_{0}.[/mm]
>
> Ich bin mir nur nicht sicher was ich jetzt wirklich machen
> soll. Soll ich die Subtraktion links vom Gleichheitszeichen
> durchführen? Das Ergebnis ist dann mein relativer Fehler?
>
>
> Gruß, Andreas
>
Wegen 1 $ [mm] \le \xi \le [/mm] $ 2 ist
[mm] $\bruch{1}{4*5!} \le |f(2)-T_5(2)| \le \bruch{2}{5!}$
[/mm]
Wenn Du statt f(2) die Näherung [mm] T_5(2) [/mm] nimmst, so handelst Du Dir einen Fehler ein. Dieser Fehller ist mindesten [mm] \bruch{1}{4*5!} [/mm] und höchstens [mm] \bruch{2}{5!}.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Di 16.04.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ok, das wäre dann der absolute Fehler:
[mm] \bruch{1}{480} \le R_{5}(2) \le \bruch{1}{60}
[/mm]
Den relativen Fehler berrechnet man, indem man [mm] T_{5}(2)\approx5,53 [/mm] ausrechnet und dann rechnet:
[mm] \bruch{\bruch{1}{480}}{5,53}*100\approx0,04%
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1}{60}}{5,53}*100\approx0,30%
[/mm]
Stimmt das so?
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ergebnisse oben stimmen. Aufgabe wurde verglichen.
Gruß, Andreas
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