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| Aufgabe | Die Auswertung s einer quadratischen Form [mm] x^T*A*x [/mm] mit einem Vektor x [mm] =(x_1 [/mm] , [mm] x_2)^T \in \IR^2 [/mm] und einer symmetrischen Matrix A [mm] \in \IR^{2x2}
[/mm]
besitzt die Formel [mm] s(x_1,x_2,a_{11},a_{12},a_{22})=x_1*x_1*a_{11} [/mm] + [mm] 2*x_1*x_2*a_{12} [/mm] + [mm] x_2*x_2*a_{22}
[/mm]
a)Bestimmen Sie jeweils die drei absoluten und relativen Konditionszahlen bezüglich der Abhängigkeit des Werts s von den drei Eingabedaten [mm] x_1, a_{11}, a_{12}.
[/mm]
b)Geben Sie unter Annahme einer idealen Arithmetik eine Formel für einen rundungsfehlerbehafteten Wert [mm] s^{'} [/mm] an, der bei Auswertung des obigen Ausdrucks s entsteht. Dabei ist eine Reihenfolge der enthaltenen arithmetischen Operationen willkürlich festzusetzen.
c)Leiten Sie mit der Formel aus Augabenteil (b) abgeänderte Werte [mm] a_{11}^{'} [/mm] , [mm] a_{12}^{'} [/mm] , [mm] a_{22}^{'} [/mm] her, so dass [mm] s^{'} [/mm] = [mm] s(x_1, x_2, a_{11}^{'}, a_{12}^{'}, a_{22}^{'}) [/mm] gilt. Schätzen Sie dann die relativen Abweichungen [mm] |a_{ij}^{'} [/mm] - [mm] a_{ij}| [/mm] / [mm] |a_{ij}| [/mm] ab. Verwenden Sie dabei Linearisierungen. Ist die Auswertung von s stabil im Sinne der Rückwärtsanalyse? (Begründung!)
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zu a)
[mm] y:=x_1*x_1*a_{11} [/mm] + [mm] 2*x_1*x_2*a_{12} [/mm] + [mm] x_2*x_2*a_{22}
[/mm]
Konditionszahlen bzgl. x1:
[mm] K1_{absolut}=|2*a_1*x_1+2*a_{12}*x_2|
[/mm]
[mm] K1_{relativ}=|x_1*(2*a_1*x_1+2*a_{12}*x_2)/y|
[/mm]
Konditionszahlen bzgl. a_11:
[mm] K2_{absolut}=|x_1*x_1|
[/mm]
[mm] K2_{relativ}=|a_{12}*x_1*x_1/y|
[/mm]
Konditionszahlen bzgl. a_12:
[mm] K3_{absolut}=|2*x_1*x_2|
[/mm]
[mm] K3_{relativ}=|a_{12}*2*x_1*x_2/y|
[/mm]
Richtig?
zu b)
Hier komme ich nicht mehr weiter. Ich hätte folgenden Ansatz:
[mm] s^{'} [/mm] =(( [mm] x_1*x_1*(1+\varepsilon_1)*a_{11}(1+\varepsilon_2)+2*x_1(1+\varepsilon_3)*x_2*(1+\varepsilon_4)*a_{12}*(1+\varepsilon_5))*(1+\varepsilon_6)+x_2*x_2*(1+\varepsilon_7)*a_{22}*(1+\varepsilon_8))*(1+\varepsilon9)
[/mm]
Scheint mir aber etwas aufwendig zu sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 14.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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