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| Aufgabe | Es seien die folgenden Abschätzungen |a − 5| ≤ [mm] 3*10^{−3} [/mm] , |b + 7| ≤ [mm] 2*10^{−3} [/mm] gegeben. Geben
Sie eine möglichst gute Fehlerabschätzung für folgende Ausdrücke an:
a) | a + b + 2 | ≤ ? b) | ab + 35 | ≤ ? c) [mm] \vmat{ (a/b) + (5/7) } \le [/mm] ? |
Also ich habe da ein paar Probleme wie ich weiterrechnen muss.
Vielleicht kann mir jemand ein paar Hinweise geben.
Meine Ansätze:
a [mm] \approx [/mm] 5 , b [mm] \approx [/mm] -7 , a+b [mm] \approx [/mm] 5+(-7) = -2 , ab [mm] \approx [/mm] 5*(-7) = -35
a) |a+b+2| [mm] \le [/mm] |(a-5+5)+(b+7-7)+2|
[mm] \le [/mm] |(a-5)+(b+7)+5-7+2|
[mm] \le [/mm] |(a-5)+(b+7)|
[mm] \le [/mm] |a-5|+|b+7|
[mm] \le 3*10^{-3}+2*10^{-3}
[/mm]
[mm] \le 5*10^{-3} [/mm] = 0,005
Ist das richtig?
b) |a*b+35| [mm] \le [/mm] |(a-5+5) * (b+7-7) +35|
[mm] \le [/mm] |(a*b+7a-7a-5b-35+35+5b+35-35)+35|
[mm] \le [/mm] |(a*b)+35|
[mm] \le
[/mm]
Wie gehts hier weiter?
bei c) habe ich noch keine Idee wie ich da überhaupt ran gehen muss.
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Hallo fireangel187,
> Es seien die folgenden Abschätzungen |a − 5| ≤
> [mm]3*10^{−3}[/mm] , |b + 7| ≤ [mm]2*10^{−3}[/mm] gegeben. Geben
> Sie eine möglichst gute Fehlerabschätzung für folgende
> Ausdrücke an:
> a) | a + b + 2 | ≤ ? b) | ab + 35 | ≤ ? c)
> [mm]\vmat{ (a/b) + (5/7) } \le[/mm] ?
> Also ich habe da ein paar Probleme wie ich weiterrechnen
> muss.
> Vielleicht kann mir jemand ein paar Hinweise geben.
>
> Meine Ansätze:
>
> a [mm]\approx[/mm] 5 , b [mm]\approx[/mm] -7 , a+b [mm]\approx[/mm] 5+(-7) = -2 , ab
> [mm]\approx[/mm] 5*(-7) = -35
>
> a) |a+b+2| [mm]\le[/mm] |(a-5+5)+(b+7-7)+2|
> [mm]\le[/mm] |(a-5)+(b+7)+5-7+2|
> [mm]\le[/mm] |(a-5)+(b+7)|
> [mm]\le[/mm] |a-5|+|b+7|
> [mm]\le 3*10^{-3}+2*10^{-3}[/mm]
> [mm]\le 5*10^{-3}[/mm]
> = 0,005
> Ist das richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) |a*b+35| [mm]\le[/mm] |(a-5+5) * (b+7-7) +35|
> [mm]\le[/mm] |(a*b+7a-7a-5b-35+35+5b+35-35)+35|
> [mm]\le[/mm] |(a*b)+35|
> [mm]\le[/mm]
> Wie gehts hier weiter?
Die Idee ist richtig:
[mm]\vmaŧ{a*b+35}=\vmat{\left(a-5+5\right)*\left(b+7-7\right)+35}[/mm]
Um die angegebenen Fehlerabschätzungen verwenden zu können,
mußt Du Klammern setzen:
[mm]= \vmat{\left(\ \left(a-5\right) +5 \ \right)*\left( \ \left(b+7\right)-7 \ \right)+35}[/mm]
[mm]\gdw \vmat{\ \left(a-5\right) \left(b+
7\right) -7*\left(a-5\right)+5*\left(b+7\right)-5*7+35}[/mm]
Und jetzt kannst Du die Dreiecksungleichung anwenden.
>
> bei c) habe ich noch keine Idee wie ich da überhaupt ran
> gehen muss.
>
Gruss
MathePower
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zu b) |a*b+35| [mm] \le [/mm] |(a-5)+5*(b+7)-7+35| [mm] \le [/mm] |(a-5)*(b+7)| [mm] \le [/mm] |a-5|*|b+7| [mm] \le (3*10^{-3})*(2*10^{-3}) \le 6*10^{-6} [/mm] = 0,000006
ist das richtig?
kann mir jemand bitte einen ansatz für c) geben?
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Hallo fireangel187,
> zu b) |a*b+35| [mm]\le[/mm] |(a-5)+5*(b+7)-7+35| [mm]\le[/mm] |(a-5)*(b+7)|
> [mm]\le[/mm] |a-5|*|b+7| [mm]\le (3*10^{-3})*(2*10^{-3}) \le 6*10^{-6}[/mm] =
> 0,000006
>
> ist das richtig?
Leider nicht.
Aus
[mm]\vmat{\ \left(a-5\right) \left(b+
7\right) -7\cdot{}\left(a-5\right)+5\cdot{}\left(b+7\right)-5\cdot{}7+35}=\vmat{\ \left(a-5\right) \left(b+
7\right) -7\cdot{}\left(a-5\right)+5\cdot{}\left(b+7\right)[/mm]
folgt mit der Dreiecksungleichung:
[mm]\vmat{\ \left(a-5\right) \left(b+
7\right) -7\cdot{}\left(a-5\right)+5\cdot{}\left(b+7\right)}\le \vmat{a-5}*\vmat{b+7}+7*\vmat{a-5}+5*\vmat{b+7}[/mm]
>
> kann mir jemand bitte einen ansatz für c) geben?
Gruss
MathePower
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