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| Aufgabe | Im Newton-Verfahren, in vielen Methoden der Optimierung, oder zur Lösung von Differentialgleichungen werden die Werte von Ableitungen benötigt. Wenn die Funktion
f:IR ->IR zwar als differenzierbar bekannt ist, aber ihre Ableitung nicht ermittelt werden kann (z.B. weil auch f nicht analytisch gegeben ist, sondern nur Ergebnis einer Simulationsrechnung), so muss man die Ableitung approximieren.
Möglichkeit dafür ist der Vorwärts-Differenzenquotient (für h>0):
f´(x)~ (f(x+h)-f(x))/h
Diese Approxiamtion hat ihre Brechtigung nach dem Satz von Taylor.
Dieser Satz quantifiziert acuh schon eine Quelle der Ungenauigkeit dieser Approximation, insbesondere bei zu großen h (den sog. truncation error).
Außerdem ist natürlich die Berechnung von f(x+h) und f(x) nur mit gewissem relativen Fehler [mm] \psi [/mm] f möglich. Bei kleinem h gilt f(x+h)~ f(x) und so spielt das Problem der Auslöschung eine große Rolle (der Konditionsfehler).
Anschaulich sieht man: es gibt eine optimale Wahl für h in Abhängigkeit von der Maschinengenauigkeit eps.
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.matheplanet.de, dort unter numerik&optimiereung unter dem gleichen Betreff.
Dort wurde mir auch bereits weitergeholfen und ich habe probiert zunächst den Approxiamtionsfehler und den Rundungsfehler zu bestimmen, leider weiß ich eigentlich gar nicht, wie ich das machen soll.
Ich habe jetzt irgendeine Fuktion genommen und die beiden Fehler dort berechnet, für den Approximationsfehler kam gerade h heraus und für den Rundungsfehler f´(x)+h, meine Frage ist nun, ob man das so pauschalisieren kann und wenn ja, wie ich denn nachweise, dass das für jedes beliebige f so ist?
Danke schonmal im voraus.
MfG
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Hallo Chauchy0815,
So pauschalisieren kann man das nicht. Du solltest für f(x+h) die Taylorapproximation an der Stelle x einsetzen und dann geeignet abschätzen.
viele Grüße
mathemaduenn
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Danke schön. Und beim Rundungsfehler, kann ich da die gleiche Abschätzung verwenden?
Sollte ich die beiden Fehler gefunden haben, dann addiere ich sie und kann ich den Term dann als Funktion auffassen und nach h ableiten um das Minimum zu finden, oder ist das ganz falsch?
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Hallo Cauchy0815,
Da mußt glaub ich nochmal genauer schauen was Auslöschung bedeutet und wo da genau der Fehler entsteht.
Als Tipp: rauskommen dürfte [mm] C*\bruch{1}{h} [/mm] Mit etwas genauer zu bestimmendem C 
viele Grüße
mathemaduenn
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