Fehler der Mittelpunktsformel < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] $f\in C^2[a,b]$, $I[f]:=\int_a^b f(x)\text{ dx}$ [/mm] und [mm] $$M_n[f]:=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^nf\left(a+\frac{2k-1}{n}(b-a)\right)$$
[/mm]
Es ist die folgende Abschätzung zu beweisen: [mm] $$|I_n[f]-M_n[f]|\le \frac{b-a}{24}\displaystyle\max_{x\in [a,b]}|f''(x)|h^2\;,$$ [/mm] wobei $h$ die Schrittweite des Verfahrens sei. |
Ich verzweifle an dieser Aufgabe. Alles läuft wohl darauf hinaus die Funktion an einer Stelle mit dem Taylor-Polynom zweiten Grades zu approximieren. Doch an welcher Stelle nur?
Ich habe bereits alles mögliche ausprobiert ;) Am naheliegendsten erschien mir [mm] $x_k:=a+(2k-1)h$ [/mm] mit [mm] $h:=\frac{b-a}{n}$ [/mm] zu wählen. Dann erhält man durch Entwicklung an der Stelle [mm] $x_k$: $$f(x)=f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_k)^2\;\;\;\;\;(x<\xi
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Gruß
Differential
|
|
| |
|
Die Frage scheint ja der ein oder andere gelesen zu haben. Ist sie zu schwer oder zu einfach? Bitte gebt mir etwas Feedback; gerne auch nur in Form einer Anregung.
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 20.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
