Fast sichere Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mi 07.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_n)_{n\ge{1}} [/mm] unabhängig und jeweils exponentialverteilt mit Parameter 1.
Sei weiter [mm] Y_n:=\bruch{X_n}{ln(n)}.
[/mm]
Konvergiert [mm] (Y_n)_{n\ge{1}} [/mm] für [mm] n\to{\infty} [/mm] fast sicher gegen 0? |
Hey Leute,
also es ist heirbei zu prüfen, ob für jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] gilt:
[mm] \sum_{n\in{\IN}} P[|Y_n|>\epsilon]<\infty
[/mm]
Es gilt also:
[mm] P[|Y_n|>\epsilon]=P[X_n>\epsilon\cdot{}ln(n)]=1-P[X_n\le{}\epsilon\cdot{ln(n)}]=e^{-\alpha\cdot{}\epsilon\cdot{ln(n)}}\xrightarrow{n\to{\infty}} [/mm] 0
Passt das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Do 08.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Eine kurze Bestätigung meines Ergebnisses wäre echt super!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Do 08.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Du hast doch gezeigt, dass die Summanden der fraglichen Reihe gegen 0 gehen, das genügt aber nicht.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Do 08.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Au man stimm da hast völlig Recht.
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist ja auch eine Nullfolge, wobei [mm] \sum_{n\in{\IN}} \bruch{1}{n} [/mm] keineswegs konvergiert.
Gut danke dann muss ich nochmal drüber schauen.
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