Fasskreis < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Fr 10.08.2012 | | Autor: | Gabs |
| Aufgabe | Konstruiere ein Viereck ABCD mit folgenden Eigenschaften:
AB = 3 cm, CD = 2,5 cm, β = 105°, δ = 75°. Außerdem gibt es einen Punkt, von dem aus alle Seiten des Vierecks unter dem gleichen Winkel erscheinen. Konstruiere diesen! |
Das Dreieck ABC kann nach dem Satz SWS einfach konstruiert werden. Der Punkt D liegt irgendwo auf dem Fasskreisbogen zum Winkel δ = 75° über der Diagonalen e = . Es gibt keine eindeutige Lösung.(vgl. Bild 1)
Will ich jetz den Punkt im Innern des Vierecks besimmen, von dem aus alle vier Seiten unter demselben Winkel betrachtet werden können, kam mir der Satz des Thales in den Sinn; aber dies funktioniert nicht, wie Bild 2 zeigt.
Ich benötige 4 Fasskreise, die sich in einem Pnkt P schneiden. Wie kann das bewerkstelligt werden?
<IMG class=preview alt=2 src="editor/extrafiles/images/imageplaceholder.jpg" _cke_realelement="true">
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Fr 10.08.2012 | | Autor: | abakus |
> Konstruiere ein Viereck ABCD mit folgenden Eigenschaften:
> AB = 3 cm, CD = 2,5 cm, β = 105°, δ = 75°. Außerdem
> gibt es einen Punkt, von dem aus alle Seiten des Vierecks
> unter dem gleichen Winkel erscheinen. Konstruiere diesen!
>
> Das Dreieck ABC kann nach dem Satz SWS einfach konstruiert
> werden.
Nein. Dazu müsste BC bekannt sein und nicht CD.
Gruß Abakus
> Der Punkt D liegt irgendwo auf dem Fasskreisbogen
> zum Winkel δ = 75° über der Diagonalen e = . Es gibt
> keine eindeutige Lösung.(vgl. Bild 1)
>
> Will ich jetz den Punkt im Innern des Vierecks besimmen,
> von dem aus alle vier Seiten unter demselben Winkel
> betrachtet werden können, kam mir der Satz des Thales in
> den Sinn; aber dies funktioniert nicht, wie Bild 2 zeigt.
>
> Ich benötige 4 Fasskreise, die sich in einem Pnkt P
> schneiden. Wie kann das bewerkstelligt werden?
> <img class="preview" alt="2" <br="">> src="editor/extrafiles/images/imageplaceholder.jpg"
> _cke_realelement="true">
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Fr 10.08.2012 | | Autor: | Gabs |
Entschuldigung, ich verschrieb mich. Die Daten:
AB=3cm, BC=2,5cm, [mm]\beta[/mm]=105°, [mm]\delta[/mm]=75°
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> Konstruiere ein Viereck ABCD mit folgenden Eigenschaften:
> AB = 3 cm, CD = 2,5 cm BC = 2,5 cm , β = 105°, δ = 75°. Außerdem
> gibt es einen Punkt, von dem aus alle Seiten des Vierecks
> unter dem gleichen Winkel erscheinen. Konstruiere diesen!
>
> Das Dreieck ABC kann nach dem Satz SWS einfach konstruiert
> werden. Der Punkt D liegt irgendwo auf dem Fasskreisbogen
> zum Winkel δ = 75° über der Diagonalen e = . Es gibt
> keine eindeutige Lösung.(vgl. Bild 1)
Die gibt es wohl erst, wenn man die Zusatzbedingung
auch noch benützt !
Daraus, dass [mm] \beta+\delta [/mm] = 180° ist, kann man schließen,
dass das Viereck ABCD ein Sehnenviereck ist, d.h. es hat
einen Umkreis. Dessen Mittelpunkt lässt sich natürlich leicht
konstruieren, nachdem A, B und C schon konstruiert sind.
Der gemeinsame Blickwinkel für alle 4 Seiten (von dem
noch unbekannten Blickpunkt aus) müsste natürlich ein
rechter Winkel sein. Also wird man den Blickpunkt mittels
zweier Thaleskreise finden können. Auch der Punkt D
ist dann leicht zu bestimmen.
LG Al-Chw.
Nebenbei: für eine brauchbare Konstruktion würde
ich die gegebenen Seitenlängen verdoppeln, denn zu
mickrige Konstruktionen sind mir ein Gräuel (es graut
mir vor ihren Ungenauigkeiten - insbesondere dann,
wenn sie noch mit einem ungespitzten, zu weichen
und schmierenden Bleistift gezeichnet worden sein
sollten ... )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Gabs |
Lieber Al-Chwarizmi, ich glaube ja, dass Du mir helfen willst, aber Du ranntest eine offene Tür ein. Das einzige, was fix ist, ist das Dreieck ABC. Der Punkt D kann wahllos auf dem Fasskreisbogen über AC wandern. Egal, welche Stelle er einnimmt, die Summe [mm]\beta+\delta[/mm] beträgt immer 180°. Dieser Fasskreis ist automatisch auch der Umkreis der Vierecks und somit das Viereck Sehnenviereck. Warum muss es immer eine eindeutige Lösung geben?
Dass das mit den Thaleskreisen nicht funktioniert zeigt Bild 1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Sa 11.08.2012 | | Autor: | abakus |
> Lieber Al-Chwarizmi, ich glaube ja, dass Du mir helfen
> willst, aber Du ranntest eine offene Tür ein. Das einzige,
> was fix ist, ist das Dreieck ABC. Der Punkt D kann wahllos
> auf dem Fasskreisbogen über AC wandern. Egal, welche
> Stelle er einnimmt, die Summe [mm]\beta+\delta[/mm] beträgt immer
> 180°. Dieser Fasskreis ist automatisch auch der Umkreis
> der Vierecks und somit das Viereck Sehnenviereck. Warum
> muss es immer eine eindeutige Lösung geben?
>
> Dass das mit den Thaleskreisen nicht funktioniert zeigt
> Bild 1.
Hallo,
wenn von einem ominösen Punkt aus alle vier Seiten unter dem gleichen Winkel erscheinen, so ist dieser Winkel 90°.
Das bedeutet doch nichts anderes, als dass dieser Winkel jeweils 90° ist, zwei solche benachbarten Winkel demzufolge 180° sind und demzufolge die Diagonalen im Viereck ABCD senkrecht aufeinander stehen.
Konstruiere also das Teildreick ABC und verlänegere das Lot von B auf die Strecke AC so weit, bis du den Umkreis des Dreiecks ABC triffst - dann hast du D.
Gruß Abakus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Gabs |
Danke abakus, so leicht ist es, ich stand wieder auf der Leitung.
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> Lieber Al-Chwarizmi, ich glaube ja, dass Du mir helfen
> willst, aber Du ranntest eine offene Tür ein.
Das glaube ich nicht ganz ...
> Das einzige,
> was fix ist, ist das Dreieck ABC. Der Punkt D kann wahllos
> auf dem Fasskreisbogen über AC wandern. Egal, welche
> Stelle er einnimmt, die Summe [mm]\beta+\delta[/mm] beträgt immer
> 180°. Dieser Fasskreis ist automatisch auch der Umkreis
> der Vierecks und somit das Viereck Sehnenviereck. Warum
> muss es immer eine eindeutige Lösung geben?
Die Aufgabe lautete:
Konstruiere ein Viereck ABCD mit folgenden Eigenschaften:
AB = 3 cm, CD = 2,5 cm, β = 105°, δ = 75°.
Außerdem gibt es einen Punkt, von dem aus alle Seiten des
Vierecks unter dem gleichen Winkel erscheinen.
Konstruiere diesen!
Solange man nur die blau geschriebenen Bedingungen nimmt,
gibt es unendlich viele Lösungen für den Punkt D.
Nimmt man aber die zusätzliche (rot geschriebene)
Bedingung dazu, so bleibt nur noch eine einzige Lösung
übrig, die hier offenbar gesucht ist.
Ich habe keineswegs behauptet, dass Konstruktionsaufgaben
stets eine eindeutig bestimmte Lösung haben müssten ...
> Dass das mit den Thaleskreisen nicht funktioniert zeigt Bild 1.
Die Thaleskreise über [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{BC} [/mm] schneiden sich außer im Punkt B
noch in einem Punkt S. Dies ist der in der Aufgabe noch
gesuchte Blickpunkt, von welchem aus alle 4 Seiten des
Vierecks ABCD unter je 90° gesehen werden.
Wie Abakus mitgeteilt hat, ist dieser Punkt der Diagonalen-
schnittpunkt des Vierecks ABCD (für welches eben die obige
"rote" Bedingung ebenfalls erfüllt ist). Man braucht also am
Ende für die Konstruktion nicht einmal mehr das Konzept
des Fasskreises (oder speziell Thaleskreises), obwohl es
sinnvoll ist, dieses hier mit zu betrachten.
LG Al-Chw.
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