Familie von R-Moduln und Torsionsuntermoduln < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
HILFE!!!
Was versteht man unter einer Familie von R-Moduln?? Was haben die R-Moduln dann für besondere Eigenschaften??
Und das T ist auch hier wieder das Torsionsuntermodul?
Und darf ich auch nochmal bitte um einen Lösungsvorschlag bitten? BITTE, BITTE, BITTE!!! *auf die Knie fall und betteln*
Sei [mm] (N_i)[/mm] [mm]i\in\I[/mm]I, I[mm]\not=[/mm][mm]\emptyset[/mm] eine Familie von R-Moduln.
Zeige: T([mm]\oplus_i[/mm][mm] N_i) [/mm] = [mm]\oplus_i[/mm][mm] T(N_i) [/mm] , [mm]i\in\I[/mm]I.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Di 22.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Dana!
Ein paar eigene Ansätze und Ideen wären mal nicht schlecht. Ihr arbeitet doch in einer Gruppe, oder? Irgendjemand von euch wird doch auch mal ein paar Ideen haben? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Im Übrigen wollte ich darauf hinweisen, dass unser Forum vom "Geben und Nehmen" lebt. Wer viel fragt, von dem wird (zumindestens von meiner Seite aus) erwartet (nicht verlangt!), dass er auch mal anderen im Forum bei ihren Problemen hilft. Wenn man selber auf Lehramt studiert, sollte man aber auch so, aus eigenem Antrieb heraus, daran ein Interesse haben, denke ich.
Jetzt zu den Fragen:
> Was versteht man unter einer Familie von R-Moduln??
Einfach ganz, ganz viele $R$-Moduln, platt gesagt, die irgendwie indiziert sind.
> Was
> haben die R-Moduln dann für besondere Eigenschaften??
Zunächst mal keine (außer die, dass sie $R$-Moduln sind).
> Und das T ist auch hier wieder das Torsionsuntermodul?
Klar.
> Und darf ich auch nochmal bitte um einen Lösungsvorschlag
> bitten? BITTE, BITTE, BITTE!!! *auf die Knie fall und
> betteln*
Selbstverständlich. (Aber ich erwarte auch mal Hilfe von eurem Team bei den Nöten anderer im Forum und vor allem mehr eigene Lösungsansätze.)
> Sei [mm](N_i)[/mm] [mm]i\in\I[/mm]I, I[mm]\not=[/mm][mm]\emptyset[/mm] eine Familie von
> R-Moduln.
> Zeige: T([mm]\oplus_i[/mm][mm] N_i)[/mm] = [mm]\oplus_i[/mm][mm] T(N_i)[/mm] , [mm]i\in\I[/mm]I.
Ist
$m [mm] =(m_i)_{i \in I} \in T(\bigoplus\limits_{i \in I} N_i) \subset \bigoplus\limits_{i \in I} N_i$,
[/mm]
dann folgt:
Es gibt ein $e [mm] \in [/mm] R$, $r [mm] \ne [/mm] 0$, mit
$r * m=0$.
Für alle $i [mm] \in [/mm] I$ gilt:
$r * [mm] m_i [/mm] = 0$.
Weiterhin gibt eine endliche Indexmenge $J [mm] \subset [/mm] I$ mit
[mm] $m_i [/mm] = 0$ für alle $i [mm] \in I\setminus [/mm] J$.
Aus alledem folgt:
$m [mm] \in \bigoplus\limits_{i \in I} T(N_i)$.
[/mm]
Nun sei umkehrt
$m [mm] \in \bigoplus\limits_{i \in I} T(N_i)$.
[/mm]
Dann gibt es eine endliche Indexmenge $J [mm] \subset [/mm] I$ mit
[mm] $m_i [/mm] = 0$ für alle $i [mm] \in I\setminus [/mm] J$.
Für alle $i [mm] \in [/mm] J$ gibt es ein [mm] $r_i \in [/mm] R$, [mm] $r_i \ne [/mm] 0$, mit
[mm] $r_i [/mm] * [mm] m_i [/mm] = 0$.
Setzt man nun
$r = [mm] \prod\limits_{i \in J} r_i$,
[/mm]
so folgt - da $J$ endlich ist - :
$r [mm] \in [/mm] R$ und, falls $R$ nullteilerfrei ist (Frage an dich: Habt ihr das bei $R$-Moduln vorausgesetzt?), auch:
$r [mm] \ne [/mm] 0$.
Wegen
$r* [mm] m_i [/mm] = 0$
für alle $i [mm] \in [/mm] I$ ist
$r * m = 0$
und damit:
$m [mm] \in T(\bigoplus\limits_{i \in I} N_i)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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