Faltungssatz kaputt < Signaltheorie < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Do 30.01.2014 | | Autor: | Hing |
| Aufgabe | | [mm] G_{(s)}=\bruch{1}{3+2RCs} [/mm] |
Hallo, ich habe einmal den Faltungssatz ausprobiert, obwohl man auch mithilfe von Tabellen rücktransformieren kann. Leider klappt das mit der obigen Ü-Funktion nicht so richtig, da ich die Lösung weiss [mm] (U_{a(t)}=\bruch{1}{3}(1-e^{-at}). [/mm] Vielleicht sieht ja jemand meinen Fehler...
[mm] G_{(s)}=\bruch{1}{3+2RCs} [/mm] (Bildbereich)
[mm] \dot{U}_{a(t)}+\bruch{3}{2RC}U_{a(t)}=\bruch{1}{2RC}U_{e} [/mm] (umgewandelt in Originalbereich, Form [mm] y'+ay=g_{(t)})
[/mm]
[mm] a=\bruch{3}{2RC}, g_{(t)}=\bruch{1}{2RC}
[/mm]
[mm] U_{a(t)}=g_{(t)}\*e^{-at} [/mm] (allgemeine Lösung mithilfe Faltungssatz)
[mm] U_{a(t)}=\integral_{0}^{t}{\bruch{1}{2RC} e^{-a(t-u)} du} [/mm] (Faltungssatz)
[mm] U_{a(t)}=\bruch{1}{2RC}\integral_{0}^{t}{e^{-at}*e^{au} du}
[/mm]
[mm] U_{a(t)}= \bruch{1}{2RC}e^{-at}*\bruch{1}{a}e^{au}\vert_{u=0}^{u=t}
[/mm]
[mm] U_{a(t)}= \bruch{1}{2RC}*e^{-at}*\bruch{1}{a}(1-e^{at})
[/mm]
[mm] U_{a(t)}=\bruch{1}{2RC}*e^{-at}*\bruch{2RC}{3}(1-e^{at}) [/mm] (mit [mm] a=\bruch{3}{2RC})
[/mm]
[mm] U_{a(t)}=\bruch{1}{3}*e^{-at}*(1-e^{at})
[/mm]
[mm] U_{a(t)}=\bruch{e^{-at}-e^{-at+at}}{3}
[/mm]
[mm] U_{a(t)}=\bruch{1}{3}(e^{-at}-1) [/mm] ![[ueberraschung]](/images/smileys/ueberraschung.gif "[ueberraschung]")
So gross kann der der Fehler nicht sein- aber er ist irgendwo. Und ich habe noch nie soo lange für eine Rechnung zum Abtippen gebraucht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Hing |
Ich möchte gerne in diesem Zusammenhang eine weitere Frage stellen. Für die Rücktransformation habe ich zwei Formeln die zwei unterschiedliche Ergebnisse liefern.
Für die Rücktransformation ist in der Papula Formelsammlung, Korrespondenztabelle folgendes angegeben: [mm] F(s)=\bruch{1}{s-a}, f(t)=e^{at}
[/mm]
Angewendet:
[mm] \bruch{1}{3+2RCs} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2RC}*\bruch{1}{s-(-\bruch{3}{2RC})}
[/mm]
[mm] a=-\bruch{3}{2RC}, [/mm] konstanter Faktor [mm] k=\bruch{1}{2RC}
[/mm]
Lösung 1: [mm] f(t)=k*e^{at}=\bruch{1}{2RC}*e^{-\bruch{3}{2RC}t}
[/mm]
Und dann habe ich noch einen weiteren Ansatz, aus einem anderen Buch: [mm] G(s)=\bruch{K}{1+Ts}, f(t)=K*(1-e^{-\bruch{t}{T}})
[/mm]
Angewendet:
[mm] \bruch{1}{3+2RCs}=\bruch{1/3}{1+(2/3)RCs}
[/mm]
[mm] K=\bruch{1}{3}, T=\bruch{2}{3RC}
[/mm]
Lösung 2: [mm] f(t)=K*(1-e^{-\bruch{t}{T}}=\bruch{1}{3}(1-e^{-\bruch{3}{2RC}t})
[/mm]
Die Lösungen unterscheiden sich in der Bestimmung des konstanten Faktors. Leider weiss ich nicht was oder wer das Problem sein soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hing,
die Korrespondenz aus Deinem ersten Beispiel ist okay und soweit ich feststellen konnte, hast Du da Dich auch nicht verrechnet.
Bei der zweiten Lösungsmethode wurde noch irgend etwas anderes vorausgesetzt, eine Korrespondenz zwischen Laplace- und Zeitbereich ist dies nicht, denn da dürfte nur ein Term auftauchen. Dass hier zwei unterschiedliche Größen betrachtet werden, sieht man ja auch schon daran, dass ein [mm] G(s) [/mm] gegeben ist und im Zeitbereich auf einmal ein [mm] f(t) [/mm] dasteht und kein [mm] g(t) [/mm].
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Hing |
Ich möchte mich wieder bei dir für deine Bemühungen bedanken!
Ich bin mir aber nicht ganz sicher, ob deine Hinweise mich der Lösung näher gebracht haben.
Ich habe die Lösung 2, [mm] (G(s)=\bruch{K}{1+Ts}, f(t)=K\cdot{}(1-e^{-\bruch{t}{T}}), [/mm] aus einem Buch für Regelungstechnik. Die gleiche Formel findet sich auch auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia PT1. Ich hoffe das ich nix Falsches gemacht habe, denn beide Formeln sind in Bezug von Sprungantworten angegeben.
Die Übertragungsfunktion habe ich der (allgemeinen) Lösung im Bildbereich passend umgestellt. Damit konnte ich dann die Lösung im Originalbereich verwenden, obwohl es die Lösung für PT1 ist.
Ich habe aber noch weitere Hinweise gefunden. Lösung 2 ist identisch mit meiner Lösung mittels Faltungssatz aus meiner Eingangsfrage im ersten Beitrag.
Ausserdem nähert sich Lösung 1 asymptomatisch der x-Achse an, was aber ein wenig widersprüchlich der Ausgangsfunktion im Bildbereich ist, da diese nach PT1 aussieht.
Das f(t) anstatt G(s) verwendet wurde, lässt sich dadurch erklären, das dies im Buch in stetiger Mischung vorhanden ist. Ich vermute das auf g(t) verzichtet wurde, weil dies als Bezeichnung für Störfunktionen Verwendung findet. Es soll aber das "Gleiche" sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Sa 01.02.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hing,
dann haben wir ja die Lösung, dein f(t) ist die Sprungantwort des PT1-Gliedes und nicht seine Impulsantwort. Hier muss man aufpassen, was man wo nachschlägt. Bei der Laplace-Transformation hat man eine sogenannte Bildfunktion (im s-Bereich) und die dazugehörige Zeitfunktion ist die bekannte Impulsantwort. Die Sprungantwort jedoch bekommt man, wenn man die Impulsantwort hat, über die Integration der Impulsantwort, da das System, das PT1-Glied, eine lineare Übertragungscharakteristik besitzt.Diese wird häufig in Regelungstechnikbüchern direkt angegeben, um sich das Ausrechnen zu ersparen.
Das kann man mal schnell hinschreiben. Aufbauend auf Deinen Rechnungen von weiter oben gehört zur Laplacetransformierten
[mm] \bruch{K}{1+sT} [/mm] die Impulsantwort
[mm] K \cdot e^{-\bruch{t}{T}} [/mm]
Mit tau als neuer Zeitvariablen bekomme ich demzufolge die Sprungantwort, indem ich über die Impulsantwort im Zeitbereich integriere. Die Integralgrenzen sind 0 und t.
[mm] \int_{\tau=0}^{\tau=t} K \cdot e^{-\bruch{\tau}{T}} \, d\tau = - \bruch{K T}{T} e^{-\bruch{\tau}{T}}|_0^t = -K(e^{-\bruch{t}{T}}-1) = K(1-e^{-\bruch{t}{T}}) [/mm]
Das ist Dein Ergebnis für f(t).
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Hing |
Danke für deine einleuchtenden Antworten. Hätte selbst drauf kommen müssen. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Jetzt habe ich nur noch eine Frage bezüglich meiner Startfrage:
Meine ursprüngliche Funktion aus meiner Eingangsfrage lautete [mm] Y(s)=\bruch{1}{3+2RCs}, [/mm] welche ich mithilfe des Faltungssatzes [mm] y(t)=g(t)\*e^{-at} [/mm] zu lösen versuchte.
(Papulabuch: y'+ay=g(t) oder [mm] Y(s)=\bruch{F_{(s)+y_{0}}}{s+a} [/mm] (mit g(t) und F(s) als Störfunktion und y(0) als Anfangsbedingung, hier: y(0)=0))
Den Rechenweg mit Lösung [mm] y(t)=1/3*(1-e^{-\bruch{3}{2RC}t}) [/mm] hatte ich im Startbeitrag angegeben.
Bloß: Die Lösung hat genau die Sprungantwortform [mm] (y_{(t)}=K*(1-e^{-t/T}) [/mm] und nicht Impulsform [mm] (y_{(t)}=K*e^{-t/T}).
[/mm]
Es sieht aus als wenn der Faltungssatz irgendwo noch ein [mm] \bruch{1}{s} [/mm] bzw. Integration hinzugefügt hat, oder als Formel y(t)=K [mm] \bruch{1}{(s-a)s}.
[/mm]
Ich hoffe ich konnte meine Frage verständlich rüberbringen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hing,
gelesen hast Du meine Antwort wohl, aber nicht verstanden, was sie im Laplace-Bereich bedeutet. Eine Integration im Zeitbereich entspricht einer Multiplikation mit 1/s im Laplace-Bereich.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Hing |
> gelesen hast Du meine Antwort wohl, aber nicht verstanden,
> was sie im Laplace-Bereich bedeutet. Eine Integration im
> Zeitbereich entspricht einer Multiplikation mit 1/s im
> Laplace-Bereich.
Doch doch, das habe ich schon verstanden. Ich verstehe aber nicht weshalb meine Faltung eine Sprungantwort ergibt.
Es soll sein nach Infinit "Sprungantwort":
[mm] G_{(s)}=\bruch{1}{3+2RCs} [/mm] oder [mm] g{(t)}=\bruch{1}{2RC}*e^{-\bruch{3}{2RC}t} [/mm]
In meinem Startbeitrag hatte ich die obige Übertragungsfunktion in eine Produktform umgewandelt, um es mit dem Faltungssatz berechnen zu können. Als Ergebnis kommt aber eine Sprungantwort heraus. Das der Faltungssatz noch eine Integration hinzufügt war und ist mir nicht bekannt.
Der einzige Hinweis der eine zusätzliche Integration stützen würde, besteht in einer Beispielaufgabe in der Papula-Formelsammlung:
y'+2y=10, Anfangswert: y(0)=0
[mm] s*Y(s)+2*Y(s)=\bruch{10}{s}
[/mm]
Wo aber das [mm] \bruch{1}{s} [/mm] herkommt weiss ich nicht so recht. Vielleicht 10x Einheitssprung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Di 11.02.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hing,
ich neige immer mehr der Meinung zu, dass die Anwendung des Faltungssatzes in dieser Form nicht statthaft ist.
Wir sind uns doch darüber einig, dass die Rücktransformierte Deines Bruches, also der Übertragungsfunktion, zur gedämpften e-Funktion führt, also zu
[mm] f(t)= \bruch{1}{2RC}\cdot{}e^{-\bruch{3}{2RC}t} [/mm]
Du nimmst diesen Ausdruck auseinander, und zwar in eine e-Funktion und in die davor stehende Konstante, die Du als Funktion von t interpretierst, das ist sie aber nicht. Konstanten bleiben Konstanten, egal in welchem Bereich.
Hier nochmal die Definition des Faltungssatzes für die Laplacetransformierten:
Dem Produkt F1(s) F2(s) zweier Bildfunktionen entspricht im Originalbereich die Faltung ihrer Originalfunktionen f1(t)*f2(t). Deine Größe F1(s) ist jedoch nicht von s abhängig, es ist eine Konstante.
Hinzu kommt das unglückselige Vermischen von unterschiedlichen Angaben in unterschiedlichen Büchern, mal gibt man die Impulsantwort an, mal die Sprungantwort. Beide sind im Zeitbereich durch eine Integration über t und im Laplace-Bereich durch eine Multiplikation mit 1/s darstellbar.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Do 13.02.2014 | | Autor: | Hing |
Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe mich mit der Rechnung noch ein wenig beschäftigt. Im Grunde kommt es darauf hinaus, was du auch geschrieben hast.
Um [mm] G(s)=\bruch{1}{3+2RCs} [/mm] mittels Faltungssatz lösen zu können, muss es in die richtige Form gebracht werden: [mm] G(s)=\bruch{1/2RC}{3/2RC+s}. [/mm] Im Zähler steht dann die Störfunktion [mm] \bruch{1}{2RC} [/mm] im Bildbereich. Um mit dem Faltungssatz die DGL-Lösung berechnen zu können, müsste die Störfunktion in Zeitbereich transformiert werden. Laut ilaplace müsste [mm] Dirac*\bruch{1}{2RC} [/mm] herauskommen. Da das für mich nicht so praktikabel ist, lasse ich das bleiben.
Es kommt heraus was du sagtest: Der Zähler muss von s abhängig sein.
Dennoch denke ich aber das Konstanten in der Form [mm] K*s^0 [/mm] durchaus verwendbar sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hing,
beim Einsetzen der Integralgrenzen hast Du eine Vorzeichenvertauschung reingebracht:
[mm] \bruch{1}{a} e^{au}|_{u=0}^{u=t} = \bruch{1}{a} (e^{at}-1) [/mm]
Bei Dir findet man in der nächsten Zeile aber ein
[mm] 1 - e^{at} [/mm]
Das wars.
Viele Grüße,
Infinit
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