Faltungsoperator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:01 Sa 15.12.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Es sei [mm] $k\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ [/mm] eine 1-periodische Funktion mit [mm] $k|[0,1]\in L^2[0,1]$. [/mm] Definiere den Faltungsoperator $T$ durch
[mm] $f\mapsto\int\limits_{[0,1]}k(s-t)f(t)\, [/mm] dt$.
Enwickle $k$ in eine Fourierreihe und finde dadurch die Eigenwerte und Eigenfunktionen. |
Hallo & Moin!
Ich hab also erstmal $k$ in eine Fourierreihe entwickelt und zwar in eine komplexe:
[mm] $k(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in2\pi t}$, [/mm] wobei
[mm] $c_n=\int\limits_0^1 k(t)e^{-in2\pi t}\, [/mm] dt$.
Dann habe ich das in das Integral mal eingesetzt:
[mm] $\int\limits_0^1 k(s-t)f(t)\, dt=\int\limits_0^1\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in2\pi (s-t)}f(t)\, [/mm] dt$
Wie geht es jetzt weiter, wie kann ich weitermachen?
Liebe Grüße
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:11 So 16.12.2012 | | Autor: | mikexx |
> Dann habe ich das in das Integral mal eingesetzt:
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> [mm]\int\limits_0^1 k(s-t)f(t)\, dt=\int\limits_0^1\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in2\pi (s-t)}f(t)\, dt[/mm]
>
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> Wie geht es jetzt weiter, wie kann ich weitermachen?
Kann ich vllt. Integral und Summe vertauschen mit dem Satz v. Lebesgue?
[mm] $\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{2\pi ins}\int\limits_0^1 e^{2\pi int}f(t)\, [/mm] dt$?
Ist eigentlich $f$ ebenfalls eine 1-periodische Funktion? Wenn ja, dann sind die hier vorkommenden Integrale doch die Fourier-Koeffizienten von $f$?
Kann man hiermit jetzt irgendwie die Eigenwerte bzw. Eigenfunktionen bestimmten?
Bitte helft mir, ich schaffe es alleine nicht.
Viele Grüße
mikexx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 18.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 17.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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