Faltungsoperation < Signaltheorie < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Di 21.01.2014 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Die Aufgabe: Weisen Sie die folgende Eigenschaft der Faltung theoretisch (mathematisch) nach:
Identität: $x(n) [mm] \text{ x } \delta(n-n_0) [/mm] = [mm] x(n-n_0)$
[/mm]
(Das x soll der Operator für die Faltungsoperation sein!)
Alle übrigen eigenschaften wie Kommutativität, Assoziativität und Distributivität sowie Assoziativit mit einem skalaren Faktor habe ich alle selbst geschafft nachzuweisen. Nur bei der Identität scheitere ich gerade...
Für die vier anderen Beweise habe ich immer folgende Definition verwendet:
$h(n) [mm] \text{ x } [/mm] x(n) = x(n) [mm] \text{ x } [/mm] h(n)$
[mm] $\Leftrightarrow \sum_{k=-\infty}^{\infty} [/mm] x(n-k) [mm] \cdot [/mm] h(k) = [mm] \sum_{k=-\infty}^{\infty} [/mm] h(k)$ [mm] $\cdot [/mm] x(n-k)$ |
Hi Leute! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun hab ich so angefangen:
$x(n) [mm] \text{ x } \delta(n-n_0) [/mm] = [mm] x(n-n_0)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \sum_{k=-\infty}^{\infty} [/mm] x(k) [mm] \cdot \delta(k-n_0-k) [/mm] = [mm] x(n-n_0)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \sum_{k=-\infty}^{\infty} [/mm] x(k) [mm] \cdot \delta(n_0) [/mm] = [mm] x(n-n_0)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow -\delta(n_0) \sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k) [/mm] = [mm] x(n-n_0)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] ...?... = [mm] x(n-n_0)$
[/mm]
Irgendwie passt das nicht so zusammen. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Di 21.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Zu zeigen:
> Identität: [mm]x(n) \text{ x } \delta(n-n_0) = x(n-n_0)[/mm]
Definition der Faltung:
$x(n) [mm] \text{ x } [/mm] h(n) = [mm] \sum_{k=-\infty}^{\infty} [/mm] x(k) [mm] \cdot [/mm] h(n-k) $
von oben eingesetzt (wo vorher in der Funktion nach dem Faltungsoperator ein n stand, kommt nun ein n-k hin):
$x(n) [mm] \text{ x } \delta(n-n_0) [/mm] = [mm] \sum_{k=-\infty}^{\infty} [/mm] x(k) [mm] \cdot \delta(n-k-n_0)$
[/mm]
Nun die Definition der Deltafunktion: frisst das Sigma, dabei muss das Argument Null sein, und Du bist fertig.
Du hast also falsch eingesetzt und das Delta vor das Sigma zu ziehen ist Quatsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mo 27.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Antwort!
Das Einsetzen ist nun klar, aber was verstehst du darunter, wenn du sagst "Nun die Definition der Deltafunktion: frisst das Sigma, dabei muss das Argument Null sein, und Du bist fertig. "
Was ist "auffressen"? Wie schreibe ich das hin? Diese Delta-Funktion in Wikipedia anscheinend auch als Delta-Distribution betitelt, wird die Delta-Funktion [mm] $\delta_a(x)$ [/mm] für [mm] $a\to [/mm] 0$ immer höher. Die Fläche bleib aber immer 1!
Was heißt das nun bei mir?
Das in Wikipedia betitelte a ist nun bei mir wohl das k. Nun ist es ja so, dass das k durch die Summe von [mm] $k=-\infty$ [/mm] bis [mm] $k=+\infty" [/mm] läuft. Nun steht im Argument auf der rechten Seite der Gleichung im Argument der Deltafunktion ein n-k.
Wenn dann nun das k von Minus unendlich losläuft, wo hin strebt die Delta-Funktion? Wird diese 1? Welchen Term ergibt dann die Summe?
Die Identität will ja, dass das gleich rauskommt, was man hineingegeben hat.
ODER:
Sehe ich hier Probleme, die viel einfacher sind? Könntest du noch etwas genauer drauf eingehen, was du mit "frisst auf" meinst und wie man denken muss und was ich hinschreiben soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
ob der Begriff des Auffressens hier passt, dies zu beurteilen überlasse ich Dir, aber was Du auf jeden Fall ausnutzen solltest, ist die Ausblendeigenschaft solch einer Delta-Sequenz, die den Wert 1 annimmt, wenn ihr Argument den Wert 0 besitzt.
[mm] \delta (n) =\begin{cases} 1, & \textrm{für } n = 0 \\ 0, & \textrm{für } n \neq 1 \end{cases}[/mm]
bzw. mit einem Shift
[mm] \delta (n-k) =\begin{cases} 1, & \textrm{für } n = k \\ 0, & \textrm{für } n \neq k \end{cases}[/mm]
Damit bleibt aus Deiner ganzen Reihe von Summanden mit der Laufvariablen k
[mm] \sum_k x(k) \delta (n - k - n_0) [/mm]
nur ein Term übrig, nämlich der, für den gilt
[mm] n - k - n_0 = 0 [/mm] oder auch
[mm] k = n - n_0 [/mm]
Setze dies nun in [mm] x(k) [/mm] ein und Du hast Dein Ergebnis.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mi 29.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Also ich hab dann hier jetzt stehen:
$x(n) [mm] \text{ x } \delta(n-n_0) [/mm] = [mm] x(n-n_0)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] x(n) [mm] \text{ x } \delta(n-n_0) [/mm] = [mm] \sum_{k=-\infty}^{\infty} [/mm] x(k) [mm] \cdot \delta(n-k-n_0)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] x(n) [mm] \text{ x } \delta(n-n_0) [/mm] = [mm] \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(n-k-n_0) \cdot \underbrace{\delta(n-k-n_0)}_{1, \text{ für } n=0}$
[/mm]
Nun hab ich aber doch noch im übrig bleibenden Term innerhalb der rechten Summe ein "k" stehen. Wie bring ich das noch weg, damit ich zu [mm] $x(n-n_0)$ [/mm] komme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mi 29.01.2014 | | Autor: | chrisno |
> Also ich hab dann hier jetzt stehen:
>
> [mm]x(n) \text{ x } \delta(n-n_0) = x(n-n_0)[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x(n) \text{ x } \delta(n-n_0) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \cdot \delta(n-k-n_0)[/mm]
Für welchen Wert von k wird die Deltafunktion 1?
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