Faltungsformel von ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Zufallsvariable X sei unif(0,1) und die Zufallsvariable Y sei [mm] Exp(\lambda) [/mm] verteilt. X und Y seien unabhängig. Bestimme Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion zu X+Y. |
Hi.
Folgendermaßen bin ich vorgegangen:
[mm] F_{X+Y}(z) [/mm] = [mm] P(X+Y\le [/mm] z) = [mm] P(Y\le [/mm] z-X) = [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{z-x}{\lambda \cdot e^{-\lambda y} dy} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\lambda} e^{-\lambda z} (-e^{\lambda} [/mm] + 1) +1 (falls ich mich net verrechnet habe...)
So, in der Lösung steht nun aber [mm] F_{X+Y}(z) [/mm] = [mm] \begin{cases} z + \bruch{1}{\lambda}(1-e^{-\lambda z}), 0 \le z \le 1, \\ 1 + \bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda z} (e^{\lambda} - 1), z > 1 \end{cases}
[/mm]
Mein Ergebnis stimmt doch mit dem unteren überein, aber was muss ich rechnen um das andere zu bekommen?
So, für die Dichte könnte ich beide ja ableiten, oder die Formel [mm] f_{X+Y}(z) [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{f_X(x) f_Y(z-x)dx} [/mm] benutzen.
Da müsste ich doch quasi folgendes rechnen:
[mm] f_{X+Y}(z) [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{f_X(x) f_Y(z-x)dx} [/mm] = [mm] \begin{cases} \integral_{0}^{z}{\lambda e^{-\lambda (z-x)} dx}, 0 \le z \le 1 \\ \integral_{?}^{?}{\lambda e^{-\lambda (z-x)}dx}, z > 1 \end{cases}
[/mm]
Wie muss ich beim unteren Integral die Grenzen bestimmen? Ich dachte mir von z-1 bis 1, aber dann bekomme ich net das Ergebnis von der Lösung...
Das Ergebnis lautet übrigens: [mm] f_{X+Y}(z) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 - e^{-\lambda z}, 0 \le z \le 1, \\ e^{-\lambda z}(e^{\lambda} - 1), z > 1 \end{cases}
[/mm]
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 So 11.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Madde-Freund,
bei dieser Aufgabe ist ein Faltungsintegral zu lösen und wie dies geht, habe ich schon öfters hier beschrieben.
Eine der Funktionen wird umgedreht und unter der zweiten durchgeschoben. Für verschiedene Werte von z überlappen sich die beiden Funktionen unterschiedlich stark und man integriert nur über den Bereich, in dem beide Funktionen von Null verschieden sind. Der letzte Thread zu diesem Thema, genau mit diesen Dichtefunktionen, tauchte im Februar auf.
Hier ist der Link dazu.
Viel Erfolg beim Nachrechnen,
Infinit
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