Faltung von Signalen < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
hi,
hier seht ihr schonmal u und v:
[Dateianhang nicht öffentlich]
wobei v(t) ja eigentlich nur die 3 punkte auf der cos-kurve sind.
so würde es aussehen, wenn u die amplitude A=1 hat. aber das weiß man ja nich. wie soll ich denn dann die faltung zeichnen, wenn ich A nich gegeben hab? selbst wenn ich sie jetzt mit A=1 angenommen hab. wie kann ich eine faltung zeichnen? ich habe schon folgendes gemacht, weiß aber nich, ob das bis hier richtig is:
[mm] w(t)=u(t)\*v(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{u(\tau)*v(t-\tau)d\tau}=\integral_{-\infty}^{\infty}{u(\tau)*v(-(\tau-t))d\tau}
[/mm]
das bedeutet also, dass v um t verschoben wird. und dann entsprechend fallunterscheidung machen? zb t>5 => w(t)=0, da es keine überschneidungen gibt. is das denn bisher richtig?
sg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 So 09.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Reicheinstein,
Deine Grundsatzüberlegungen zur Faltung sind schon okay, rechnen musst Du trotzdem.
Zunächst mal zum Signal v(t). Dies besteht genau aus einem Dirac an der stelle t= 2T, wobei -1 rauskommt, der von Dir eingezeichnete Wert bei 4T existiert nicht.
Die Größe A ist einfach eine Konstante, an der brauchst Du Dich nicht weiter zu stören, denn sie kann vor das Faltungsintegral gezogen werden.
Wie führt man nun die Faltung durch? Eines der beiden Signale wird an der Ordinate gespiegelt und nach rechts unter dem anderen Signal durchgeschoben und für jeden Zeitpunkt werden alle Funktionswerte ausmultipliziert und aufintegriert.
Was passiert wohl, wenn Du einen Dirac unter einem kontinuierlichen Signal durchschiebst? Du tastest genau das kontinuierliche Signal ab, wenn auch zeitverschoben und in Deinem Fall mit -1 gewichtet, die Funktionswerte liegen nun im Negativen.
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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hi,
danke für die schnelle antwort. also die funktion v(t) besitzt doch 3 diracs. bei T=0, 2, 4. weil [mm] \delta_{2T} [/mm] ist bei uns ein deltakamm, wobei die impulse einen abstand von 2T haben.
ich hab jetzt einfach mal die faltung gezeichnet. ich hoffe, ich hab dich richtig verstanden. die erste zeichnung is nur für einen deltaimpuls bei t=2T.
[Dateianhang nicht öffentlich]
is die so richtig?
die zweite is für die oben beschriebenen 3 impulse.
[Dateianhang nicht öffentlich]
allerdings bin ich mir nich sicher, wo das signal anfangen muss. bzw in welche richtung es geht. bei der faltung spiegelt man das zu verschibene signal an der y-achse und verschiebt es dann in positive t-richtung und geht dann in die negative t-richtung. so haben wir das zumindest mal in der übung gemacht. oda is das immer unterschiedlich? (in meiner zeichnung is das jetzt mal in pos. t-richtung geschoben)
sg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 09.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Reicheinstein,
das Prinzip hast Du anscheinend verstanden, aber ein kleiner Fehler hat sich doch noch eingeschlichen. Bleiben wir der Einfachheit halber mal bei Deinem Beispiel mit einem Dirac bei t = 2T. Den an der y-Achse gespiegelt bringt ihn nach t = -2 T. Nun multiplizieren wir die sich überlappenden Funktionswerte und siehe da, da iat nichst, was sich überlappt, denn der dreiecksimpuls fängt ja erst bei t = -T an. Für den Zeitpunkt t = 0 ist also das Ergebnis auch gleich Null und das gilt auch für negative Zeitwerte, denn dafür würde der Dirac ja bei Werten liegen, die noch kleiner sind als t = -2T. Du musst also den Dirac mindestens um die Zeitspanne T nach rechts verschieben, damit er beginnt, sich mit der Dreiecksfunktion zu überlappen. Dann tastest Du die Dreiecksfunktion ab und multiplizierst sie mit -1 und das geht solange, bis der Dirac bei t = T wieder aus dem Bereich des Dreiecks rauswandert. Für größere Zeitwerte kommt also auch wieder Null raus. Dein Bildchen stimmt also dann, wenn Du es um T nach rechts verschiebst. Das ist genau der negative Dreiecksimpuls, den Du ins zweite Bild richtig eingetragen hast.
Deine Beschreibung ist schon okay, aber das erste Bild passt nicht zur Faltung mit dem Dirac bei t = 2T. Ein Diracimpuls der Höhe -1 bei t = 0 würde Dir dieses Ergebnis liefern, das im ersten Bild gezeigt ist.
Dein Kommentar zum Durchschieben ist schon richtig, erst eine Funktion an der y-Achse spiegeln, dann sie nach rechts durchschieben, das gibt das Ergebnis für positive t.
Viele Grüße,
Infinit
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hi,
danke erstma für deine eklärungen. hab trotzdem nochma n paar fragen.
betrachten wir also das dreieckssignal und den impuls bei t=2T. zuerst spiegeln wir an der y-achse. in der übung haben wir ihn dann verschoben, sodass t>T ist und dann sind wir erst in negative t-richtung gegangen und haben mult+int. im prinzip müsste das aber egal sein, ob man von links oda rechts kommt, oda?
betrachten wir jetzt das bsp mit den 3 impulsen und gleichem dreieck. ich spiegel die impulse also wieder an der y-achse und verschieb sie erstma - ohne was zu machen - um >4T nach t, also dass der 1. impuls nach der spiegelung >T is. (ich mach das so, weil wir das in der übung hatten und ich so bessere kontroll- und vergleichsmöglichkeiten hab.) jetzt kann ich meine zu faltenden bereiche einteilen:
I: t>5T
II: [mm] 3T
III: [mm] T
IV: [mm] -T
V: t<-T
bei fall II-IV bin ich mir nich sicher, ob ich diese nochma teilen muss, wegen wechselnder steigung. aufgrund der symmetrie hab ich aber sowie nur die hälfte der bereiche beachtet und später die ergebnisse verdoppelt. also heißt zb II/2 die dreieckskante mir der negativen steigung. schauen wir uns nun die bereiche genauer an:
I: [mm] w^{I}(t)=0 [/mm]
II/2: [mm] w^{II/2}(t)=A\integral_{t-4T}^{T}{(1-\bruch{\tau}{T})d\tau} [/mm] da [mm] A*(1-\bruch{\tau}{T}) [/mm] die dreickskante is und der impuls is 1. der wert des integrals ist [mm] w^{II/2}(t)=\bruch{A}{2}(25T-10t+\bruch{t^{2}}{T}) [/mm] => [mm] w^{II}(t)=A(25T-10t+\bruch{t^{2}}{T})
[/mm]
III: [mm] w^{III}=-w^{II}
[/mm]
IV: [mm] w^{IV}=w^{II}
[/mm]
V: [mm] w^{V}=0
[/mm]
bei III und IV bin ich mir nich sicher, da meine Probe [mm] w^{III}(3T)=w^{II}(3T) [/mm] offensichtlich fehlschlägt. genauso wie [mm] w^{III}(t)=w^{IV}(t). [/mm]
die probe [mm] w^{I}(5T)=w^{II}(5T) [/mm] passt. jetzt weiß ich nich, wo meine fehler liegen. vllt kann ich die symmetrien doch nicht so ausnutzen?
sg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Reicheinstein,
das spiegeln ist wichtig und die Lage der Signale entspricht dann dem Ergebnis für t = 0. Schieben nach rechts ergibt die Überlagerungen für positive Zeiten, schieben nach links für negative. Es ist also nicht egal, in welche Richtung man schiebt.
Dein Versuch, das Integral zu berechnen, ging komplett schief, da Du hier mit einer 1 multiplizierst hast und nicht mit einem Diracimpuls. De facto ist es natürlich ein Integral, das Du löst, aber es ist sehr einfach zu lösen, da sein Ergebnis aus dem Funktionswert des abgetasteten Signals besteht, in Integralschreibweise liest sich das so:
$$ [mm] \int f(t)\, \delta (t-\tau) \, [/mm] dt = [mm] f(\tau)$$
[/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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hi,
jetzt bin ich etwas verwirrt :S woran erkennt man denn, in welche richtung man schieben muss? ich geb ma n bsp, dass wir inner übung hatten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
dann wurde anner y-achse gespiegelt: [mm] v(-\tau)
[/mm]
und nach t verschoben: [mm] v(-(\tau-t))\hat=v(t-\tau)
[/mm]
und dann wurde die "rote funktion" von rechts nach links geschoben und es wurde gefaltet. nochma zum verständnis: faltung bedeutet, 2 fkt miteinander zu multiplizieren und das produkt zu integrieren?
jetzt zur aufgabe mit den 3 diracs:
ich hab mit einer 1 multipliziert, weil in meiner fkt v ja die cos-fkt schon mit einem dirac multipliziert wurde. und die werte sind doch 1 bzw -1. ich versuch nochma, die faltung explizit hinzuschreiben:
[mm] w(t)=u(t)\*v(t)=A\cap_{T}(\bruch{t}{2})(1-|\bruch{t}{T}|)\*\delta_{2T}(t)cos(\bruch{\pi t}{2T})=\integral_{-\infty}^{\infty}{u(\tau)*v(t-\tau)}d\tau=\integral_{-\infty}^{\infty}{A\cap_{T}(\bruch{\tau}{2})(1-|\bruch{\tau}{T}|)*\delta_{2T}(t-\tau)cos(\bruch{\pi(t-\tau)}{2T})d\tau}
[/mm]
is das richtig? ich hab eigentlich nur die konkreten fkt in die faltungsformel eingesetzt. allerdings bin ich mir nich sicher mit t bzw [mm] \tau [/mm] und dt bzw [mm] d\tau. [/mm] wann kommt denn t, und wann [mm] \tau? [/mm] also ich hab es so gemacht, wie in den übungsfolien. aber die sind mir auch n bissl suspekt :S
wenn ich mir dein integral anschaue, dann muss ich also eine fkt f(t) und ein dirac [mm] \delta(t-\tau) [/mm] haben, damit ich als wert wieder f(t) bekomme. ein f(t) hab ich, bzw bei mir müsste es das [mm] u(\tau) [/mm] sein, oda? dann hab ich noch n [mm] \delta(t-\tau) [/mm] aber eben noch [mm] cos(t-\tau). [/mm] und dann passt das integral schon wieder nich :(
ich hoffe du kannst meine unklarheiten irgendwie beseitigen ;)
sg
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Reicheinstein,
Deine Erläuterungen sind ja alle in Ordnung, Du kannst auch ein Integral aufschreiben, aber dann bringen Dich die Variablen des Faltungsintegrals ins Straucheln, denn Du weisst nicht so recht, was t und was tau ist und was man damit anfängt.
Nochmal die drei Schritte, die man braucht zur Lösung des Faltungsintegrals.
1) Man schreibe die beiden zu faltenden Funktionen als Funktion der Integrationsvariablen tau, sind die Funktionen als Zeitfunktionen gegeben, so ersetzt man einfach t durch tau.
2) Eine der beiden Funktionen spiegelt man an der y-Achse und bekommt dadurch eine Funktion von -tau. Da der Integrand im Faltungsintegral [mm] (t- \tau) [/mm] heisst, verschiebt man einfach die gespiegelte Funktion auf der tau-Achse nach rechts für positive Werte für t, und man verschiebt diese gespiegelte Funktion auf der tau-Achse nach links für negative Werte von t.
3) Für jedes t multipliziert man die beiden Funktionen Funktionswert für Funktionswert auf der tau-Achse aus und addiert die einzelnen ausmultiplizierten Werte.
Statt tau kannst Du natürlich auch eine andere Variable nehmen, in x liest sich das dann so
$$ f(t) = [mm] \int [/mm] u(x) v(t-x) [mm] \, [/mm] dx [mm] \, [/mm] . $$
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zur Illustration habe ich Dir in beiliegendem Bild mal ein paar Funktionen eingezeichnet. Die beiden Funktionen, die hier miteinander gefaltet werden sollen, sind die rote Sinusfunktion und die blaue Betragsfunktion. Diese blaue Betragsfunktion spiegeln wir jetzt an der y-Achse und es kommt die grüne Betragsfunktion dabei raus. Wenn Du nun punktweise die rote und die blaue Funktion ausmultiplizieren würdest und die Werte aufaddierst, bekommst Du das Faltungsintegral für t = 0.
Verschiebst Du die grüne Kurve nach rechts, bekommt Du Werte für positives t raus. Die ockerfarbene Kurve ist die für eine Verschiebung von t = 0,6.
Verschiebst Du die grüne Kurve nach links, bekommst Du Werte für negatives t heraus. Die gelbe Kurve ist die für eine Verschiebung von t = - 1,45.
Wie gesagt, Verschiebung nach rechts gibt die Werte für positives t, Verschiebung nach links die Werte für negatives t.
Deine zweite Kurve in Deiner Aufgabe ist keine stetige Kurve, sondern eine Funktion, die aus drei Dirac-Impulsen besteht. Dann ergbit sich für die Multiplikation gerade ein Wert, nämlich der Wert an der Stelle des Dirac-Impulses multipliziert mit dem Wert der kontinuierlichen Funktion an dieser Stelle. Das habe ich mit meinem kleinen Integral ausdrücken wollen, mehr nicht.
Jetzt guck Dir noch mal in Ruhe die Aufgabe durch, wie die Lösung zustande kommt, kannst Du nun hoffentlich nachvollziehen.
Viele Grüße,
Infinit
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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hi,
vielen dank für deine mühe. also deine zeichnung kann ich zumindest schonma nachvollziehen ^^ nur stellt sich mir immernoch die frage, woran ich erkenne, ob ich nach links oda rechts oda garnich verschieben muss!? du schreibst:
"...verschiebt man einfach die gespiegelte Funktion auf der tau-Achse nach rechts für positive Werte für t, und man verschiebt diese gespiegelte Funktion auf der tau-Achse nach links für negative Werte von t."
woher weiß ich ob ich negative oda positive werte für t hab? bisher war es immer so, dass ich eine fkt gespiegelt hab -> [mm] -\tau [/mm] . da wir [mm] t-\tau [/mm] im integral stehen haben müssen, verschieb ich die funktion also nach rechts!? aber das wird wohl nich immer so gemacht.
ich hab nämlich hier noch ne 2. aufgabe zur faltung, da wird vor der integration nicht geschoben und ich weiß absolut nich warum, weil eigentlich alles vom prinzip her gleich is wie in den anderen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
hier wird also das dreieckssignal gespiegelt und angeblich wird dann nach der spiegelung aus [mm] u(\tau) [/mm] -> [mm] u(-(\tau [/mm] -t)) bzw unser gesuchtes [mm] u(t-\tau). [/mm] warum müssen wir hier denn nicht schieben?
sry, wenn ich nochma so blöd nachfrage aber das will mir einfach nich in den kopf :/
sg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 So 16.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Reicheinstein,
nach dem Spiegeln der Funktion an der y-Achse hast du, wie ich bereits oben schrieb, die richtige Lage der Kurve für t=0. Du möchtest ja aber normalerweise das ergebnis für andere t-Werte haben, und da gilt dann meine kleine Verschiebungsregel.
Die beiden Ausdrücke mit denen wir arbeiten, sind algebraisch äquivalent, ob ich die gespiegelte und verschobene Funktion als [mm] g(t-\tau) \mbox{ oder als } g(-(\tau- t)) [/mm] schreibe bleibt sich gleich, aber bei der geometrischen Interpretation musst Du aufpassen, und da ist auch der Fehler im Bild passiert. Du kannst nicht einfach Spiegelung und Verschiebung miteinander vertauschen.
Was ich beschrieben habe ist, zunächst die Spiegelung an der y-Achse, wobei aus [mm] \tau \mbox{ dabei } -\tau [/mm] wird, dann verschiebst Du die so entstandene Kurve um t, für positive t also nach rechts.
Was Du gemachst hast, ist zunächst die Funktion um t zu verschieben und dann zu spiegeln, das ist nicht das Gleiche und das führt deswegen auch zu der verkehrten Abbildung von [mm] u(-(\tau - t))[/mm] in Deiner Zeichnung.
Viele Grüße,
Infinit
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hi, danke nochma.
ich glaub ich habs fast verstanden ;) aber woran erkenne ich, ob ich für t<0 oder t>0 berechnen/skizzieren soll?
und um nochma auf die 3 diracs zu kommen:
diese spiegel ich und bei t=0 liegt nun mein 1. dirac. is das richtig? da wär der wert A*1 wegen A der amplitude des dreickssignals und 1 der wert der cosinuskurve multipliziert mit dem dirac. mein dreieckssignal fängt aber schon bei t=-T an. also muss ich doch anfangen, bei t=-T die faltung zu skizzieren?
sg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hi,
freut mich, wenn die Sache langsam klarer wird. Sie ist nicht sehr kompliziert, aber man muss schon etwas aufpassen bei der Rechnung.
Zu Deiner Frage, wie Du erkennen kannst, für welchen Bereich Du das Ergebnis bestimmen sollst. Einmal besteht natürlich die Möglichkeit, dass dies in der Aufgabe bereits angegeben ist z.B. als "Bestimmen Sie für positive t die Faltung .....". Die andere Möglichkeit ist die, dass man sich die beiden Signale aufmalt, meist male ich die beiden Signale untereinander in zwei Koordinatensysteme auf, mit gleichem Nullpunkt natürlich. Im oberen Bildchen malt man sich die unveränderte Funktion hin, im unteren Bildchen die an der y-Achse gespiegelte Funktion, die unter der darüber aufgemalten Funktion durchgeschoben wird.
Verschieben dieser unteren Funktion nach links ergibt das Ergebnis für negatives t, wie wir festgestellt haben. Hat die unveränderte Funktion in diesem Bereich keine Punkte mit der zu verschiebenden Funktion gemein, so ist das Ergebnis und damit auch die Faltung Null.
Verschieben dieser unteren Funktion nach rechts ergibt das Ergebnis für positives t, wie wir festgestellt haben. Hat die unveränderte Funktion in diesem Bereich keine Punkte mit der zu verschiebenden Funktion gemein, so ist das Ergebnis und damit auch die Faltung Null.
Fast immer ist wenigstens eine der Funktionen zeitbegrenzt, häufig sind es auch beide, so wie bei Deiner ursprünglichen Aufgabe.
Spiegeln der drei Dirac-Impulse an der y-Achse lässt den Diracimpuls bei [mm] \tau = 0 [/mm] unverändert, der Puls bei 2T taucht nun bei [mm] \tau = - 2T [/mm] auf und der bei 4 T liegt nun bei [mm] \tau = -4 T [/mm]. Wenn Du die gespiegelte Funktion um mehr als um T nach links verschiebst, also in negative t-Zeiten rein, hast du keine gemeinsamen Punkte mehr zwischen dem verschobenen Dirac-Kamm und der Dreiecksfunktion. Erst ab [mm] t = -T [/mm] hat der erste Dirac (der am weitesten rechts liegt)und die Dreieckskurve genau einen Punkt gemeinsam, der durch die Lage des rechten Diracs bestimmt wird. Dies geht solange, bis bei [mm] t = T [/mm] der rechte Dirac das Gebiet der darüberliegenden Dreiecksfunktion verlässt, prompt kommt aber nun der mittlere Dirac ins Spiel, der einen Wert von -1 hat, wodurch die Dreiecksfunktion an der Koordinate gespiegelt wird. Verlässt dieser Punkt das "Dreiecksgebiet", kommt der am weitesten links liegende Dirac-Impuls ins Spiel, der die Dreiecksfunktion abtastet so wie es der erste Dirac gemacht hat. So kommt das Lösungsbildchen zustande, das Du am Sonntag vor einer Woche bereits hingemalt hattest.
Viele Grüße,
Infinit
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hi,
dann werd ich jetzt noch n paar aufgaben dazu rechnen und mich sicher nochma melden ^^
vielen dank und schöne grüße
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