Faltung F-Transformation < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mi 10.05.2006 | | Autor: | nik03 |
Hallo,
Habe zu folgendem Beweis eine Frage:
[mm] F\left\{ ( f \*g )( k ) \right\} = \bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{( f \*g )( x ) * e^{-ikx} dx} = \bruch{1}{(2\pi)^{2}} \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f ( x - y ) * g( y ) dy * e^{-ikx} dx} [/mm]
[mm] = \bruch{1}{(2\pi)^{2}} \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f ( x - y ) * e^{-ik(x-y)} * g( y ) * e^{-iky} dydx} [/mm]
[mm] = \left( \bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f ( x ) * e^{-ikx} dx} \right) * \left( \bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{g ( y ) * e^{-iky} dy} \right) = F\left\{ f( k )\right\}* F\left\{ g( k )\right\}[/mm]
Erste Zeile ist mir klar, hier wird die Definition der Faltung eingesetzt. Zweite Zeile ist mir in soweit klar das hier wohl mit [mm] \bruch{e^{iky} }{e^{iky}} [/mm] multipliziert wird. Der Schluss von der zweiten zur dritten Zeile ist mir aber nicht klar und auch nicht wie ich dann von dem Doppelintegral auf die Fouriertransformierte schliesse. Wenn ich die Definition von der Fouriertransformierten der jeweiligen Funktion einsetze bleibt nach der zweiten Integration doch ein [mm] 2\pi [/mm] übrig, da der Ausdruck [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] doch zu der F-Tafo der Funktion gehört?
Vielleicht kann mir da jemand einen Tip geben...
Grüsse
Norbert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:59 Do 11.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Norbert!
> Habe zu folgendem Beweis eine Frage:
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> [mm]F\left\{ ( f \*g )( k ) \right\} = \bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{( f \*g )( x ) * e^{-ikx} dx} = \bruch{1}{(2\pi)^{2}} \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f ( x - y ) * g( y ) dy * e^{-ikx} dx}[/mm]
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> [mm]= \bruch{1}{(2\pi)^{2}} \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f ( x - y ) * e^{-ik(x-y)} * g( y ) * e^{-iky} dydx}[/mm]
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> [mm]= \left( \bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f ( x ) * e^{-ikx} dx} \right) * \left( \bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{g ( y ) * e^{-iky} dy} \right) = F\left\{ f( k )\right\}* F\left\{ g( k )\right\}[/mm]
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> Der Schluss von der zweiten zur dritten Zeile ist mir aber
> nicht klar und auch nicht wie ich dann von dem
> Doppelintegral auf die Fouriertransformierte schliesse.
Ich denke mal in der Zeile soll das [mm] $\int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi}$ [/mm] jeweils nur ein [mm] $\int_0^{2\pi}$ [/mm] sein! Schliesslich tauch danach auch jeweils nur ein $dx$ bzw. $dy$ auf und nicht zwei wie es bei einem Doppelintegral der Fall sein muesste!
In dem Fall kommst du so von der 2. in die 3. Zeile:
- Du vertauscht erst mit Fubini die Reihenfolge der Integration.
- Dann holst du alles was nicht von x abhaengt aus dem Integral nach $x$ heraus.
- Das Verbleibende Intgral kannst du Umsubstitutionieren ($x - y$ durch $x$ ersetzen), dabei die Periodizitaet der Funktion ausnutzen!
- Dann kannst du das Intgral nach $x$ ganz aus dem Integral nach $y$ herausziehen, da es nicht mehr von $y$ abhaengt.
> Wenn ich die Definition von der Fouriertransformierten der
> jeweiligen Funktion einsetze bleibt nach der zweiten
> Integration doch ein [mm]2\pi[/mm] übrig, da der Ausdruck
> [mm]\bruch{1}{2\pi}[/mm] doch zu der F-Tafo der Funktion gehört?
Ich verstehe nicht ganz was du meinst. Wenn du einfach so tust das da jeweils nur ein Integral-Zeichen steht, hast du dann das Problem immernoch?
LG Felix
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