Faltung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 So 13.07.2014 | | Autor: | James90 |
Hi!
Zu zeigen: [mm] $X,Y\sim\mathcal [/mm] N(0,1)$ unabhängig. Daraus folgt: [mm] $X+Y\sim\mathcal [/mm] N(0,2)$.
Das würde ich gerne über die Faltung zeigen.
Zeigen will ich also: [mm] \frac{\phi_{0,1}*\phi_{0,1}(t)}{\phi_{0,2}(t)}=1.
[/mm]
Ich habe bereits: [mm] \frac{\phi_{0,1}*\phi_{0,1}(t)}{\phi_{0,2}(t)}=\frac{2}{1*1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\IR}\exp(\frac{t^2}{2*2^2}-\frac{s^2}{2*1^2}-\frac{(t-s)^2}{2*1^2})ds
[/mm]
[mm] (\sigma_1^2 [/mm] und [mm] \sigma_2^2 [/mm] sind 1, also nicht wundern wegen den Einsen)
Kurz gefasst: [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\IR}\exp(\frac{t^2}{4}-s^2-(t-s)^2)ds
[/mm]
Wie zeige ich nun, dass das Eins ist?
Meine Idee wäre zu zeigen: [mm] (\int_{\IR}\exp(\frac{t^2}{4}-s^2-(t-s)^2)ds)^2=2\pi.
[/mm]
Bin ich auf dem richtigen Weg?
Vielen Dank!
Viele Grüße, James.
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Hiho,
> Das würde ich gerne über die Faltung zeigen.
Ok, auch wenn das über die charakteristischen Funktionen tausendmal einfacher geht.
> Zeigen will ich also:
> [mm]\frac{\phi_{0,1}*\phi_{0,1}(t)}{\phi_{0,2}(t)}=1.[/mm]
>
> Ich habe bereits:
> [mm]\frac{\phi_{0,1}*\phi_{0,1}(t)}{\phi_{0,2}(t)}=\frac{2}{1*1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\IR}\exp(\frac{t^2}{2*2^2}-\frac{s^2}{2*1^2}-\frac{(t-s)^2}{2*1^2})ds[/mm]
Schreibe das mal bitte sauber in einzelnen Schritten auf, damit man das besser nachvollziehen kann, was du da machst.
Ich glaube es zwar zu wissen, was du gemacht hast, aber so ist die Fehlersuche einfacher 
> Kurz gefasst:
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\IR}\exp(\frac{t^2}{4}-s^2-(t-s)^2)ds[/mm]
Nein, selbst wenn dein Integral oben stimmt, kannst du doch nicht einfach die 2 vor dem Integral mit einem [mm] \bruch{1}{2} [/mm] im [mm] \exp [/mm] kürzen!
> Meine Idee wäre zu zeigen:
> [mm](\int_{\IR}\exp(\frac{t^2}{4}-s^2-(t-s)^2)ds)^2=2\pi.[/mm]
>
> Bin ich auf dem richtigen Weg?
Jein. Du brauchst da auch nix quadrieren. Dein Weg dürfte funktionieren, du bekommst den Integranden halt so umgeformt, dass dort eine Dichte einer NV steht, die aufintegriert dann deine gewünschte 1 ergibt.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Mo 14.07.2014 | | Autor: | James90 |
Danke Dir Gono. Ich hab es raus.
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