Fallunterscheidung bezgl. der < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Fallunterscheidung bezügl. der Beträge
kann das jemand für mich lösen?
|x-3|+|x+3| < 10
und zwar einmal mit beiden inhalten positiv einmal negativ und weitere Fälle. komme da irgendwie nicht drauf klar. bitte mit ausführlichem lösungsweg.
Danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Untersuche die Fälle
a. x [mm] \ge [/mm] 3
b. 3 > x [mm] \ge [/mm] 0
c. 0 > x > -3
d. -3 [mm] \ge [/mm] x
Wenn du die Achsensymmetrie von f ausnutzt, kannst du c. und d. auch auf b. und a. zurückführen.
Gruß Sax.
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Ok. das hilft weiter aber wie komme ich zu diesen fällen. das ist mein hauptproblem
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Hallo Rofalsteil, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
In Deiner Ungleichung kommen doch die beiden Terme |x-3| und |x+3| vor. Bei |x-3| ist die interessante Stelle dort, wo x=3 ist. Für x<3 verläuft diese Betragsfunktion ja anders als es (x-3) täte. Und bei |x+3| ist eben x=-3 die Stelle mit dem "Knick".
Wenn Du die beiden auf dem Zahlenstrahl markierst, dann hat er drei Bereiche, den "links" von -3, den "rechts" von +3, und den zwischen den beiden Punkten. Diese drei Bereiche musst Du einzeln untersuchen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
> Fallunterscheidung bezügl. der Beträge
>
> kann das jemand für mich lösen?
ja sicher, macht aber keiner hier: Du musst lösen!
>
> |x-3|+|x+3| < 10
...
>
1. Benutze die Definition von Betrag:
$|a| = [mm] \left\{\begin{array}{rcl}a&falls&a\geq 0 \\-a & falls & a < 0\end{array}\right.$
[/mm]
2. Für jeden Betrag wird die Menge [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] in zwei Intervalle geteilt. Die Kombination der Intervalle ergibt 3 Intervalle für die gesamte Ungleichung, d.h., Du bekommst drei unterschiedliche Ungleichungen, die Du getrennt lösen kannst.
Salve
Pappus
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kann man das zufällig irgendwie bildlich sehen? Wie würde denn die erste zeile zum errechnen des terms aussehen?
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Hallo Daniel,
> kann man das zufällig irgendwie bildlich sehen? Wie würde
> denn die erste zeile zum errechnen des terms aussehen?
Hmmm, naja, ich mache dir einen Fall vor, den Rest erledigst du aber!
1. Fall: [mm]x<-3[/mm]
Damit ist [mm]|x-3|=-(x-3)=3-x[/mm] und [mm]|x+3|=-(x+3)=-x-3[/mm] nach Definition des Betrages; beide Ausdrücke in den Betragstrichen sind ja in diesem Falle, also für [mm]x<-3[/mm] negativ.
Die Betragsungleichung [mm]|x-3|+|x+3|<10[/mm] kannst du in diesem Falle also schreiben als
[mm]3-x+(-x-3)<10[/mm]
[mm]\Rightarrow -2x<10[/mm]
[mm]\Rightarrow x>-5[/mm]
Du hast also aus der Einschränkung des Falles [mm]x<-3[/mm] und als Lösung [mm]x>-5[/mm]
Insgesamt also [mm]-5
Die Lösungsmenge hier in diesem Fall ist also das offene Intervall [mm](-5,-3)[/mm]
Nun betrachte ganz ähnlich die anderen Fälle.
Die Gesamtlösung ergibt sich dann als Vereinigung der Lösungsmengen der Teilfälle
Gruß
schachuzipus
>
>
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ich verstehe den zusammenhang mit dem <10 nicht und wenn ich jetzt den Fall -3<x<0 oder 0<x<3 untersuchen will weiss ich nict wie ich das anwenden soll. also für den fall x>= 3habe ich die Lösung [3,5) für den Fall x<= -3 die Lösung (-5,-3] und weiter weiss ich nicht und die anderen Fälle sind aus der Schule. Die Rechnung verstehe ich aber wie man dort hinkommt rein gar nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Mo 18.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Dann nehmen wir uns mal den Fall -3<x<0 vor.
In diesem Fall ist x-3 <0 und x+3>0, somit ist
|x-3|=3-x und |x+3|=x+3.
Aus der ursprünglichen Ungleichung wird dann:
3-x+x+3<10,
also 9<10.
Edit: da muß natürlich 6<10 stehen !!!
Das bedeutet: die ursprüngliche Ungl. ist richtig für jedes x mit: -3<x<0
FRED
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warum ist |x-3|=3-x und |x+3|=x+3.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mo 18.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
$ |a| = [mm] \left\{\begin{array}{rcl}a&falls&a\geq 0 \\-a & falls & a < 0\end{array}\right. [/mm] $
FRED
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sorry hatte sich schon erledigt aber müsste die lösung nicht 6<10 anstatt 9<10 sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mo 18.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> sorry hatte sich schon erledigt aber müsste die lösung
> nicht 6<10 anstatt 9<10 sein?
Upps, Du hast recht, da hab ich mich verschrieben
FRED
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wovon ist es abhängig ob ich sage x>3 oder x >=3 genauso wie bei den anderen.
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Hallo Rofalstein!
Wo genau Du die Grenze ziehst mit der Fallunterscheidung (bzw. welchem Intervall Du den Grenzfall zuordnest) ist im Grunde egal.
Aber gemäß Definition der Betragsfunktion (bereits mehrfach genannt hier), muss es $x \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 3$ lauten.
Gruß vom
Roadrunner
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verstehe das halt nicht ganz. bei einem anderen Beispiel:
|x| + |x - 2| = 4 bei x<=0 beide therme negativ. und warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Mo 18.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> verstehe das halt nicht ganz. bei einem anderen Beispiel:
>
> |x| + |x - 2| = 4 bei x<=0 beide therme negativ. und
> warum?
Wenn x [mm] \le [/mm] 0, so ist x-2 [mm] \le [/mm] 0-2=-2<0
FRED
>
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und genau das verstehe ich nicht. ´gibt es da eine ausführliche auflösung der beträge? also bei x<= 0
wäre der erste therm ja x<= 0 under zweite x-2<=0 also wenn x null wäre, dann wäre der erste therm doch positiv oder nicht?
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Hallo nochmal,
ich glaube, du machst Dir da ein Problem, wo keins ist.
> und genau das verstehe ich nicht. ´gibt es da eine
> ausführliche auflösung der beträge? also bei x<= 0
>
> wäre der erste therm ja x<= 0 under zweite x-2<=0 also
> wenn x null wäre, dann wäre der erste therm doch positiv
> oder nicht?
1) Term, nicht Therm. Das Wort hat mit Wärme nichts zu tun. Also ohne h!
2) Null ist doch sozusagen weder positiv noch negativ. Die Betragsdefinition hast Du doch hier schon bekommen, da wird Null eben zur positiven Seite hinzugeschlagen. Vor allem geht es aber darum, dass die Null nicht zu beiden Seiten, sondern nur zu genau einer gezählt wird, sonst wäre die Definition der Betragsfunktion eben keine Funktion mehr.
3) Was meinst Du denn mit "ausführliche Auflösung der Beträge"? Es ist doch schon ausgiebig vorgemacht worden.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Grüße
reverend
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Scheinbar bin ich nach 10 Jahren Schulabstinez einfach nur zu doof.
Bei dem ersten Beispiel: |x-3|+|x+3|<10 muss ich ja wissen welche Fälle ich unterscheiden muss.
Habe jetzt die Fälle x ≤ -3 und x ≥ + unterschieden aber nur in der FH mitgeschrieben und wie genau die dahin gekommen sind weiss ich halt nicht.
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> Scheinbar bin ich nach 10 Jahren Schulabstinez einfach nur
> zu doof.
>
> Bei dem ersten Beispiel: |x-3|+|x+3|<10 muss ich ja wissen
> welche Fälle ich unterscheiden muss.
Hallo,
die Fälle richten sich nach den Termen |x-3| und |x+3|.
Was ist |x-3|?
Wenn [mm] x-3\ge [/mm] 0,was gleichbedeutend ist mit [mm] x\ge [/mm] 3, dann ist |x-3|=x-3.
Wenn [mm] x-3\< [/mm] 0, was gleichbedeutend ist mit x< 3, dann ist |x-3|=-(x-3).
Jetzt schauen wir |x+3| an.
Für [mm] x\ge [/mm] -3 ist |x+3|=x+3,
für x< -3 ist |x+3|=-(x+3).
Untersuchen müßten wir also 4 Fälle:
A. [mm] x\ge [/mm] 3 und gleichzeitig [mm] x\ge [/mm] -3
B. [mm] x\ge [/mm] 3 und gleichzeitig x<-3
C. x< 3 und gleichzeitig [mm] x\ge [/mm] -3
D. x< 3 und gleichzeitig x < -3.
Nimm nun dien Zahlenstrahl zur Hilfe, Pappus hatte Dir das eigentlich schon gesagt.
Markiere für A die Zahlen, die [mm] \ge [/mm] 3 und [mm] \ge [/mm] -3 sind.
Auf welche Zahlen trifft beides zu? Auf die, die [mm] \ge [/mm] 3 sind.
Markiere für B die Zahlen, die [mm] \ge [/mm] 3 und <-3 sind.
Gibt's welche, die beide Eigenschaften haben?
Die anderen beiden Fälle entsprechend.
Ergebnis?
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Pappus |
> kann man das zufällig irgendwie bildlich sehen? Wie würde
> denn die erste zeile zum errechnen des terms aussehen?
>
>
Offensichtlich hast Du gewaltige Schwierigkeiten eine solche Ungleichung systematisch zu bearbeiten. Deswegen ausnahmsweise:
[mm] $|x-3|=\left\{ \begin{array}{rcl}x-3 & falls & x-3\>=0, d.h. x\geq 3 \\ -(x-3) & falls & x-3 < 0, d.h. x<3 \end{array}\right. [/mm] $
[mm] $|x+3|=\left\{ \begin{array}{rcl}x+3 & falls & x+3\>=0, d.h. x\geq -3 \\ -(x+3) & falls & x+3 < 0, d.h. x<-3 \end{array}\right. [/mm] $
Wenn Du für den ersten Betrag die Farbe blau wählst und für den zweiten die Farbe rot, dann sieht das so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun kannst Du Dir die linken Seiten der Ungleichung zusammenbauen.
1. Fall: x < -3 (dann ist im Übrigen x automatisch kleiner als 3)
$-(x-3)+(-(x+3)) < [mm] 10~\wedge~x<-3$
[/mm]
Jetzt lösen!
2. Fall:
... und alles weitere überlasse ich Dir.
Salve
Pappus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Also dass mit den Termen habe ich verstanden, wann was positiv oder negativ ist, aber in der Fh war der Fall den du mir aufgezeigt hast x<= -3. tut das was zur sache? und das mit dem zahlenstrahl ist mir noch nicht ganz einleuchtend. warum da steht beide x... zum beispiel
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> Also dass mit den Termen habe ich verstanden, wann was
> positiv oder negativ ist, aber in der Fh war der Fall den
> du mir aufgezeigt hast x<= -3. tut das was zur sache?
Hallo,
das ist nicht sooo wichtig.
Du kannst für |x+3| auch die Fälle [mm] x\le-3 [/mm] und x>-3 unterscheiden.
> und
> das mit dem zahlenstrahl ist mir noch nicht ganz
> einleuchtend. warum da steht beide x... zum beispiel
Vielleicht formulierst Du diese Frage noch etwas aus...
Ich weiß nicht, was Du meinst.
Gruß v. Angela
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auf jedenfall lösung Fall 1: -5,-3
Fall 2: x>=3
x-3+x+3<10
x<5
und weiter kein plan
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> auf jedenfall lösung Fall 1: -5,-3
> Fall 2: x>=3
> x-3+x+3<10
> x<5
> und weiter kein plan
Hallo,
es ist zu anstrengend, wenn man sich als Antwortender alles selbst zusammenklauben soll.
Du kannst und das Helfen doch ein bißchen angenehm machen, oder?
Was meinst Du mit Fall 1? Welche x betrachtest Du hier?
Woie sieht die Ungleichung für diesen Fall aus, und wie hast Du sie gelöst?
In Deinem Fall 2 sind all die Zahlen, die gleichzeitig [mm] \ge [/mm] 3 und <5 sind, Lösungen, also die x mit [mm] 3\le [/mm] x< 5.
Gruß v. Angela
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Also Fall 1: x < -3
-(x-3)+(-(x+3)<10
-x+3-x-3<10
-2x<10 |/(-2)
x>-5
Fall 2: x>=3
x-3+x+3<10
2x<10 |/2
X<5
Fall 3? Vielleicht -3<=x<3 ?
und dann?
Ich glaube es wird dann:
-(x-3)+x+3<10
-x+3+x+3<10
6<10
aber wie schreibe ich in den fällen die lösungsmengen genau auf?
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> Also Fall 1: x < -3
> -(x-3)+(-(x+3)<10
> -x+3-x-3<10
> -2x<10 |/(-2)
> x>-5
Hallo,
also lösen alle [mm] x\in [/mm] (-5, -3) die Ungleichung.
>
> Fall 2: x>=3
> x-3+x+3<10
> 2x<10 |/2
> X<5
Also lösen alle [mm] x\in [/mm] [3,5) die Ungleichung.
>
> Fall 3? Vielleicht -3<=x<3 ?
Ja.
> und dann?
> Ich glaube es wird dann:
> -(x-3)+x+3<10
> -x+3+x+3<10
> 6<10
Dies ist eine wahre Aussage.
Das sagt uns: alle x im hier betrachteten Intervall [-3, 3) lösen die Ungleichung.
Insgesamt: alle x, die in einem der Intervalle (-5,-3), [-3,3), [3,5) liegen,
(in Zeichen: [mm] x\in (-5,-3)\cup [-3,3)\cup [/mm] [3,5))
lösen die Ungleichung, also alle [mm] x\in [/mm] (-5,5).
Das wäre die Lösungsmenge in Intervallschreibweise.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Rofalstein |
so langsam komme ich dahinter. Danke auch für die Mühe. Aber wann schreibt man denn die eckigen klammern und wann nicht? Ich wünsche schonmal eine gute nacht allen bis demnächst.
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> so langsam komme ich dahinter. Danke auch für die Mühe.
> Aber wann schreibt man denn die eckigen klammern und wann
> nicht? Ich wünsche schonmal eine gute nacht allen bis
> demnächst.
Hallo,
[mm] x\in [/mm] [5,6) bedeutet [mm] 5\le [/mm] x<6.
Die Zahlen bei den runden Klammern gehören nicht zum Intervall, die bei den eckigen gehören dazu.
Manchmal schreibt man statt [5,6) auch [5,6[.
Gruß v. Angela
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