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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Monotonie, Beschränktheit, Achsen- und Punktsymmetrie |
Hallo Leute,
gegeben ist folgende Funktion: f(x) = [mm] 2x^{4}-2x^{2}+2x
[/mm]
Soweit überhaupt kein Problem. Ich setze die Werte -2, 0 und 2 ein und sehe, dass die Funktion nach unten beschränkt ist. Durch f(-x) kann ich zudem feststellen, dass keine Symmetrie vorliegt, weil f(-x) = [mm] 2x^{4}-2x^{2}-2x
[/mm]
Jetzt hat mein Dozent allerdings gesagt, dass keine Monotonie vorliegt (klar!), ist ja nach unten begrenzt. Allerdings sagt er auch "eine untere Grenze ist z.B. c=-12" und um dies zu zeigen "muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden."
Und jetzt kommt das, was ich nicht verstehe. Er macht drei Rechnungen:
1. x > 2
f(x) = [mm] 2x^{4}-2x^{2}+2x
[/mm]
= [mm] 2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge [/mm] 0 [mm] \ge [/mm] -12
2. |x| [mm] \le [/mm] 2
f(x) = [mm] 2x^{4}-2x^{2}+2x
[/mm]
= [mm] 2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}(0-1)+2x \ge [/mm] -2*4+2*(-2) = -12
3. x < -2
f(x) = [mm] 2x^{4}-2x^{2}+2x
[/mm]
= [mm] 2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}(4-1)+2x [/mm] = [mm] 6x^{2} [/mm] + 2x [mm] \ge [/mm] 6*(-2)*x+2x = -10x [mm] \ge [/mm] 20 [mm] \ge [/mm] -12
Ich habe ehrlich gesagt keinen Plan, was mein Dozent da gemacht hat. Könnte mir das bitte einer erklären?
Ich bin für jegliche Hilfe dankbar!
Besten Dank vorab!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Monotonie,
> Beschränktheit, Achsen- und Punktsymmetrie
>
> Hallo Leute,
>
> gegeben ist folgende Funktion: f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
>
> Soweit überhaupt kein Problem. Ich setze die Werte -2, 0
> und 2 ein und sehe, dass die Funktion nach unten
> beschränkt ist. Durch f(-x) kann ich zudem feststellen,
> dass keine Symmetrie vorliegt, weil f(-x) =
> [mm]2x^{4}-2x^{2}-2x[/mm]
das ist aber sehr schlecht: Denn wer sagt, dass für die relevanten [mm] $x\,$
[/mm]
nicht vielleicht doch [mm] $f(-x)=2x^4-2x^2-2x=-2x^4+2x^2-2x=-f(x)\,$ [/mm] gilt?
(Für etwa [mm] $x=0\,$ [/mm] gilt das nämlich!)
Oder [mm] $f(-x)=2x^4-2x^2-2x=2x^4-2x^2+2x=f(x)\,$?
[/mm]
(Für [mm] $x=0\,$ [/mm] gilt auch das!)
Das kann man auch ausführlich begründen, aber warum, wenn's einfach
geht:
Gib' also ein konkretes [mm] $x_0$ [/mm] an, so, dass [mm] $f(-x_0) \not=-f(x_0)$ [/mm] und [mm] $f(-x_0) \not=f(x_0)\,.$
[/mm]
> Jetzt hat mein Dozent allerdings gesagt, dass keine
> Monotonie vorliegt (klar!), ist ja nach unten begrenzt.
> Allerdings sagt er auch "eine untere Grenze ist z.B. c=-12"
> und um dies zu zeigen "muss eine Fallunterscheidung
> vorgenommen werden."
>
> Und jetzt kommt das, was ich nicht verstehe. Er macht drei
> Rechnungen:
>
> 1. x > 2
>
> f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge[/mm] 0 [mm]\ge[/mm] -12
>
> 2. |x| [mm]\le[/mm] 2
>
> f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}(0-1)+2x \ge[/mm] -2*4+2*(-2) =
> -12
>
> 3. x < -2
>
> f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}(4-1)+2x[/mm] = [mm]6x^{2}[/mm] + 2x [mm]\ge[/mm]
> 6*(-2)*x+2x = -10x [mm]\ge[/mm] 20 [mm]\ge[/mm] -12
>
> Ich habe ehrlich gesagt keinen Plan, was mein Dozent da
> gemacht hat. Könnte mir das bitte einer erklären?
Na, ganz einfach:
Im ersten Fall betrachtet er alle reellen [mm] $x\,$ [/mm] mit $x > [mm] 2\,.$
[/mm]
Im zweiten Fall betrachtet er alle reellen [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| [mm] \le 2\,:$
[/mm]
Nun gilt $|x| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \gdw [/mm] -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 2\,.$
[/mm]
Im ersten und zweiten Fall wurden also alle
$$x [mm] \in [/mm] [-2,2] [mm] \cup ]2,\infty[$$
[/mm]
behandelt - also
$$x [mm] \in [-2,\infty[\,.$$
[/mm]
Was verbleibt, sind alle $x [mm] \in \IR \setminus [-2,\infty[$ [/mm] - dieser Fall ist
noch abzuarbeiten. Und es ist halt $x [mm] \in \IR \setminus [-2,\infty[$ [/mm] genau
dann, wenn $x < [mm] -2\,.$ [/mm] Deswegen gibt's den dritten Fall.
P.S. Aus der Beschränktheit nach unten folgt übrigens noch lange nicht,
dass die Funktion nicht (streng) monoton ist (betrachte etwa
[mm] $f(x)=e^x\,$ [/mm] für $x [mm] \in \IR$). [/mm] Such' lieber nach richtigen Argumenten, etwa
mit "stückweise Monotonie" durch Betrachten von [mm] $f\,'$ [/mm] - oder, Du guckst
nach lokalen Extremstellen mit [mm] $f\,'$ [/mm] und [mm] $f\,''$ [/mm] und beachtest, dass [mm] $f\,$
[/mm]
ja stetig ist...
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Monotonie,
> > Beschränktheit, Achsen- und Punktsymmetrie
> >
> > Hallo Leute,
> >
> > gegeben ist folgende Funktion: f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> >
> > Soweit überhaupt kein Problem. Ich setze die Werte -2, 0
> > und 2 ein und sehe, dass die Funktion nach unten
> > beschränkt ist. Durch f(-x) kann ich zudem feststellen,
> > dass keine Symmetrie vorliegt, weil f(-x) =
> > [mm]2x^{4}-2x^{2}-2x[/mm]
>
> das ist aber sehr schlecht: Denn wer sagt, dass für die
> relevanten [mm]x\,[/mm]
> nicht vielleicht doch
> [mm]f(-x)=2x^4-2x^2-2x=-2x^4+2x^2-2x=-f(x)\,[/mm] gilt?
> (Für etwa [mm]x=0\,[/mm] gilt das nämlich!)
> Oder [mm]f(-x)=2x^4-2x^2-2x=2x^4-2x^2+2x=f(x)\,[/mm]?
> (Für [mm]x=0\,[/mm] gilt auch das!)
ok, willst du damit sagen, dass die Funktion punktsymmetrisch bzw achsensymmetrisch ist? wenn ich für x = 0 einsetze werden ja beide Seiten null, das ist mir schon klar.
> Das kann man auch ausführlich begründen, aber warum,
> wenn's einfach
> geht:
> Gib' also ein konkretes [mm]x_0[/mm] an, so, dass [mm]f(-x_0) \not=-f(x_0)[/mm]
> und [mm]f(-x_0) \not=f(x_0)\,.[/mm]
>
> > Jetzt hat mein Dozent allerdings gesagt, dass keine
> > Monotonie vorliegt (klar!), ist ja nach unten begrenzt.
> > Allerdings sagt er auch "eine untere Grenze ist z.B. c=-12"
> > und um dies zu zeigen "muss eine Fallunterscheidung
> > vorgenommen werden."
> >
> > Und jetzt kommt das, was ich nicht verstehe. Er macht drei
> > Rechnungen:
> >
> > 1. x > 2
> >
> > f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> > = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge[/mm] 0 [mm]\ge[/mm] -12
> >
> > 2. |x| [mm]\le[/mm] 2
> >
> > f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> > = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}(0-1)+2x \ge[/mm] -2*4+2*(-2)
> =
> > -12
> >
> > 3. x < -2
> >
> > f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> > = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}(4-1)+2x[/mm] = [mm]6x^{2}[/mm] + 2x
> [mm]\ge[/mm]
> > 6*(-2)*x+2x = -10x [mm]\ge[/mm] 20 [mm]\ge[/mm] -12
> >
> > Ich habe ehrlich gesagt keinen Plan, was mein Dozent da
> > gemacht hat. Könnte mir das bitte einer erklären?
>
> Na, ganz einfach:
> Im ersten Fall betrachtet er alle reellen [mm]x\,[/mm] mit [mm]x > 2\,.[/mm]
>
> Im zweiten Fall betrachtet er alle reellen [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| \le 2\,:[/mm]
>
> Nun gilt [mm]|x| \le 2 \gdw -2 \le x \le 2\,.[/mm]
>
> Im ersten und zweiten Fall wurden also alle
> [mm]x \in [-2,2] \cup ]2,\infty[[/mm]
> behandelt - also
> [mm]x \in [-2,\infty[\,.[/mm]
warum nimmt mein Dozent ausgerechnet die 2 bzw. den Betrag und -2? wie verhält es sich mit anderen Werten?
Kannst du mir eine gute Quelle empfehlen, wo auch für nicht-Mathematiker erklärt ist, was eine Fallunterscheidung ist?
>
> Was verbleibt, sind alle [mm]x \in \IR \setminus [-2,\infty[[/mm] -
> dieser Fall ist
> noch abzuarbeiten. Und es ist halt [mm]x \in \IR \setminus [-2,\infty[[/mm]
> genau
> dann, wenn [mm]x < -2\,.[/mm] Deswegen gibt's den dritten Fall.
>
> P.S. Aus der Beschränktheit nach unten folgt übrigens
> noch lange nicht,
> dass die Funktion nicht (streng) monoton ist (betrachte
> etwa
> [mm]f(x)=e^x\,[/mm] für [mm]x \in \IR[/mm]). Such' lieber nach richtigen
> Argumenten, etwa
> mit "stückweise Monotonie" durch Betrachten von [mm]f\,'[/mm] -
> oder, Du guckst
> nach lokalen Extremstellen mit [mm]f\,'[/mm] und [mm]f\,''[/mm] und
> beachtest, dass [mm]f\,[/mm]
> ja stetig ist...
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Monotonie,
> > > Beschränktheit, Achsen- und Punktsymmetrie
> > >
> > > Hallo Leute,
> > >
> > > gegeben ist folgende Funktion: f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> > >
> > > Soweit überhaupt kein Problem. Ich setze die Werte -2, 0
> > > und 2 ein und sehe, dass die Funktion nach unten
> > > beschränkt ist. Durch f(-x) kann ich zudem feststellen,
> > > dass keine Symmetrie vorliegt, weil f(-x) =
> > > [mm]2x^{4}-2x^{2}-2x[/mm]
> >
> > das ist aber sehr schlecht: Denn wer sagt, dass für die
> > relevanten [mm]x\,[/mm]
> > nicht vielleicht doch
> > [mm]f(-x)=2x^4-2x^2-2x=-2x^4+2x^2-2x=-f(x)\,[/mm] gilt?
> > (Für etwa [mm]x=0\,[/mm] gilt das nämlich!)
> > Oder [mm]f(-x)=2x^4-2x^2-2x=2x^4-2x^2+2x=f(x)\,[/mm]?
> > (Für [mm]x=0\,[/mm] gilt auch das!)
>
> ok, willst du damit sagen, dass die Funktion
> punktsymmetrisch bzw achsensymmetrisch ist? wenn ich für x
> = 0 einsetze werden ja beide Seiten null, das ist mir schon
> klar.
nein, ich will Dir nur sagen, dass - um Nichtpunktsymmetrie und
Nichtachsensymmetrie zu zeigen - es eigentlich nicht ausreicht, nur
nachzurechnen, dass
[mm] $$f(-x)=2x^4-2x^2-2x$$
[/mm]
ist und das nicht wie
[mm] $$-(2x^{4}-2x^{2}+2x)=-2x^4+2x^2-2x$$
[/mm]
und auch nicht wie
[mm] $$2x^{4}-2x^{2}+2x$$
[/mm]
aussieht.
(Natürlich kann man einfach mal annehmen, es würde doch etwa
$f(-x)=-f(x)$ für alle [mm] $x\,$ [/mm] gelten und dann sieht man, welche [mm] $x\,$
[/mm]
dann doch erfüllen, dass [mm] $f(x)=-f(x)\,$ [/mm] gilt und kann damit ein passendes
[mm] $x_0'\,,$ [/mm] so dass [mm] $f(-x_0')\not=-f(x_0')$ [/mm] gilt, "herausfiltern".)
Eine Funktion, bei der neben [mm] $x\,$ [/mm] auch immer [mm] $-x\,$ [/mm] zum
Definitionsbereich gehört, heißt ja achsensymmetrisch, wenn FÜR ALLE
[mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs [mm] $f(x)=f(-x)\,$ [/mm] gilt.
Entsprechend ist eine solche Funktion genau dann nicht
achsensymmetrisch, wenn es ein [mm] $x_0$ [/mm] in ihrem Definitionsbereich so gibt,
dass [mm] $f(-x_0) \not=f(x_0)$ [/mm] gilt.
Bei Dir kannst Du nun zeigen, dass $f(-1) [mm] \not=f(1)$ [/mm] gilt, und hast dann
mit [mm] $x_0=1\,$ [/mm] (oder [mm] $x_0=-1$) [/mm] ein solches gefunden.
Ich habe mich übrigens eben auch schlampig ausgedrückt:
Sei [mm] $f\,$ [/mm] eine Funktion, bei der zu jedem [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs auch
gilt, dass [mm] $-x\,$ [/mm] zum Definitionsbereich gehöre. Dann ist [mm] $f\,$ [/mm] genau dann
weder punkt- noch achsensymmetrisch, wenn gilt:
Es gibt [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $x_0'$ [/mm] im Definitionsbereich so, dass sowohl
[mm] $f(x_0)\not=f(-x_0)$ [/mm] als auch [mm] $f(x_0')\not=-f(-x_0')$ [/mm] gelten. Ich hatte das
vorhin so formuliert, als wenn [mm] $x_0=x_0'$ [/mm] immer gelten würde. Das muss
natürlich nicht sein - aber etwa in der vorgegebenen Funktion [mm] $f\,$ [/mm] wie
hier findet man auch direkt ein gemeinsames [mm] $x_0=x_0'\,.$
[/mm]
Um's mal ganz "blöd" zu machen:
Betrachte [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] für $x [mm] \in \IR \setminus \{2\}$ [/mm] und [mm] $f(2):=3\,.$ [/mm]
Dieses [mm] $f\,$ [/mm] ist nicht achsensymmetrisch.
Man kann aber auch Funktionen angeben, wo man an den
Funktionstermen, also einfach nur durch die Darstellungsberechnung von
[mm] $f(x)\,$ [/mm] und [mm] $f(-x)\,,$ [/mm] nicht direkt sieht, dass etwa [mm] $f(x)=f(-x)\,$ [/mm] gilt. Ein
ganz "blödes" Beispiel:
Betrachte [mm] $f(x):=x*\cos(x)$ [/mm] auf [mm] $\{k*2\pi: k \in \IN_0\}$ [/mm] und [mm] $f(-x):=|x|\,$ [/mm] auf
[mm] $\{-k*2\pi:\;k \in \IN_0\}\,.$ [/mm] Das ist eine Funktion $f: [mm] \{z*2\pi:\;z \in \IZ\} \to \IR\,,$ [/mm]
die achsensymmetrisch ist. Da muss man aber ein bisschen aufpassen, um
das schnell einzusehen - rein von der Definition sieht das nicht unbedingt
so aus. Und das hier ist nun wirklich auch einfach nur "gekünstelt" - da
kann man wirklich andere Funktionen hinschreiben, wo auch starke Sätze
benötigt werden, um die Punkt- oder Achsensymmetrie einzusehen. Aber
das führt nun zu weit. Jedenfalls merke: Die Punkt- oder Achsensymmetrie
einer Funktion zu widerlegen: Das geht mit einem einzigen Punkt (und
natürlich dem entsprechend zugehörigen Punkt mit anderem Vorzeichen)
des Definitionsbereichs. Denn etwa die Verneinung von "für alle [mm] $x\,$ [/mm] gilt
$f(x)=f(-x)$" ist: "Es gibt (mindestens) ein [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)\not=f(-x_0)\,.$"
[/mm]
> > Das kann man auch ausführlich begründen, aber warum,
> > wenn's einfach
> > geht:
> > Gib' also ein konkretes [mm]x_0[/mm] an, so, dass [mm]f(-x_0) \not=-f(x_0)[/mm]
> > und [mm]f(-x_0) \not=f(x_0)\,.[/mm]
> >
> > > Jetzt hat mein Dozent allerdings gesagt, dass keine
> > > Monotonie vorliegt (klar!), ist ja nach unten begrenzt.
> > > Allerdings sagt er auch "eine untere Grenze ist z.B. c=-12"
> > > und um dies zu zeigen "muss eine Fallunterscheidung
> > > vorgenommen werden."
> > >
> > > Und jetzt kommt das, was ich nicht verstehe. Er macht drei
> > > Rechnungen:
> > >
> > > 1. x > 2
> > >
> > > f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> > > = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge[/mm] 0 [mm]\ge[/mm] -12
> > >
> > > 2. |x| [mm]\le[/mm] 2
> > >
> > > f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> > > = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}(0-1)+2x \ge[/mm]
> -2*4+2*(-2)
> > =
> > > -12
> > >
> > > 3. x < -2
> > >
> > > f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> > > = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}(4-1)+2x[/mm] = [mm]6x^{2}[/mm] +
> 2x
> > [mm]\ge[/mm]
> > > 6*(-2)*x+2x = -10x [mm]\ge[/mm] 20 [mm]\ge[/mm] -12
> > >
> > > Ich habe ehrlich gesagt keinen Plan, was mein Dozent da
> > > gemacht hat. Könnte mir das bitte einer erklären?
> >
> > Na, ganz einfach:
> > Im ersten Fall betrachtet er alle reellen [mm]x\,[/mm] mit [mm]x > 2\,.[/mm]
>
> >
> > Im zweiten Fall betrachtet er alle reellen [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| \le 2\,:[/mm]
>
> >
> > Nun gilt [mm]|x| \le 2 \gdw -2 \le x \le 2\,.[/mm]
> >
> > Im ersten und zweiten Fall wurden also alle
> > [mm]x \in [-2,2] \cup ]2,\infty[[/mm]
> > behandelt - also
> > [mm]x \in [-2,\infty[\,.[/mm]
>
> warum nimmt mein Dozent ausgerechnet die 2 bzw. den Betrag
> und -2? wie verhält es sich mit anderen Werten?
> Kannst du mir eine gute Quelle empfehlen, wo auch für
> nicht-Mathematiker erklärt ist, was eine
> Fallunterscheidung ist?
Na, was eine Fallunterscheidung ist, ist doch eigentlich klar:
Man betrachtet nach und nach alle Fälle, die in Frage kommen. Und wenn
man etwa [mm] $x\in \IR$ [/mm] durchspielen will:
Weil man [mm] $\IR= ]-\infty,-2]\cup [/mm] [-2,2] [mm] \cup [2,\infty[$ [/mm] schreiben kann, ist
es jedenfalls möglich, eine Fallunterscheidung der Art
1. Fall: $x [mm] \in [2,\infty[$
[/mm]
oder
2. Fall: $x [mm] \in [/mm] [-2,2]$
oder
3. Fall: $x [mm] \in ]-\infty,-2[$
[/mm]
zu machen. Das "oder" ist dabei aber nicht als entweder-oder notwendig,
auch, wenn es manchmal sinnvoll sein kann, das so zu machen (und das
kann man als entweder-oder auch schreiben, wenn man - wie oben - [mm] $\IR$
[/mm]
als disjunkte Vereinigung schreibt).
Man könnte auch rein theoretisch
[mm] $$\IR=]-\infty,0]\cup [/mm] [-2,3] [mm] \cup [2.5,\;\infty[$$
[/mm]
schreiben und dann damit Fallunterscheidungen machen.
Warum Euer Dozent oben [mm] $\IR= ]-\infty,-2]\cup [/mm] [-2,2] [mm] \cup [2,\infty[$
[/mm]
benutzt hat, das guck' ich mir nochmal separat an...
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank erstmal für die ausführlichen Erklärungen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> warum nimmt mein Dozent ausgerechnet die 2 bzw. den Betrag
> und -2? wie verhält es sich mit anderen Werten?
> Kannst du mir eine gute Quelle empfehlen, wo auch für
> nicht-Mathematiker erklärt ist, was eine
> Fallunterscheidung ist?
vielleicht musst Du Dir mal angucken, was Dein Dozent in den einzelnen
Fällen beim Abschätzen benutzt. Man kann sich aber graphisch mal
angucken, wie man zu sinnvollen einzelnen Fallunterscheidungen vielleicht
gelangen kann:
Er sagte ja, dass für alle [mm] $x\,$ [/mm] gelte
[mm] $$2x^4-2x^2+2x \ge -12\,.$$
[/mm]
Das kann man umschreiben:
[mm] $$\gdw x^4 -(x^2-x-6) \ge 0\,.$$
[/mm]
Dein Dozent hat das nun anders gemacht wie ich es tun werde. Ich sage
folgendes:
[mm] $x^4 \ge [/mm] 0$ wird immer gelten. Deswegen wird [mm] $x^4-(x^2-x-6) \ge [/mm] 0$
sicher für alle [mm] $x\,$ [/mm] gelten, für die [mm] $x^2-x-6 \le [/mm] 0$ gilt (Minus mal Minus
macht ja Plus). Wir müssen nun also gucken, für welche [mm] $x\,$ [/mm] nun
[mm] $x^2-x-6 \red{\;>\;}0$ [/mm] gilt, denn nur für diese [mm] $x\,$ [/mm] müssen wir uns
dann noch überzeugen, dass dann auch [mm] $x^4-(x^2-x-6) \ge [/mm] 0$ wahr ist.
Also:
[mm] $$x^2-x-6 [/mm] > 0$$
[mm] $$\gdw (x\;-\,1/2)^2-6.25 [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Ich überlasse Dir es nun, Dich durch ein wenig nachdenken davon zu
überzeugen, dass man - bei meinem Weg - also für die Fälle $x < [mm] -2\,$ [/mm]
bzw. auch für $x > [mm] 3\,$ [/mm] noch was zu tun hat. (Das hätte man auch
schneller sehen können wegen [mm] $x^2-x-6=(x-3)*(x+2)\,.$)
[/mm]
(Denn: Den Fall $-2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3$ haben wir hier eigentlich schon
abgehandelt:
Es ist ja [mm] $f(x)+12=2*(x^4-(x+2)*(x-3))$ [/mm] und damit $f(x)+12 [mm] \ge [/mm] 0$ klar,
wenn [mm] $(x+2)*(x-3)\le [/mm] 0$ gilt - was genau für $-2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3$ gilt.)
So ähnliche Überlegungen wird Dein Dozent halt sicher auch angestellt
haben, eventuell durch Betrachten anderer Funktionen. Aber dafür habe
ich mir seine Vorgehensweise nicht genau genug angeguckt...
Gruß,
Marcel
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Mir ist einiges klarer geworden, aber anderes nicht. Ich habe noch ein paar ganz grundsätzliche Fragen. Die Funktion habe ich mir mal zeichnen lassen. Die Nullstellen habe ich berechnet etc. Extrema auch, Wendepunkte ...
Warum nimmt mein Dozent als c=-12 an? Ist der Wert einfach frei gewählt? Dann könnte ich rein hypothetisch auch einfach sagen c=-4071? Die Funktion ist sowas bei -2, ... nach unten begrenzt und nicht bei -12.
Die Fallunterscheidung mit den 2er Werten ist also frei gewählt, habe ich das richtig verstanden?
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Hallo, die Antwort findest du schon in der Fragestellung:
EINE untere Grenze ist c=-12
EINE (weitere) untere Grenze ist ebenso c=-1234
EINE (weitere) untere Grenze ist ebenso c=-4071
Steffi
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1. x > 2
f(x) = $ [mm] 2x^{4}-2x^{2}+2x [/mm] $
= $ [mm] 2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge [/mm] $ 0 $ [mm] \ge [/mm] $ -12
2. |x| $ [mm] \le [/mm] $ 2
f(x) = $ [mm] 2x^{4}-2x^{2}+2x [/mm] $
= $ [mm] 2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}(0-1)+2x \ge [/mm] $ -2*4+2*(-2) = -12
3. x < -2
f(x) = $ [mm] 2x^{4}-2x^{2}+2x [/mm] $
= $ [mm] 2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}( [/mm] 4 -1)+2x $ = $ [mm] 6x^{2} [/mm] $ + 2x $ [mm] \ge [/mm] $ 6*(-2)*x+2x = -10x $ [mm] \ge [/mm] $ 20 $ [mm] \ge [/mm] $ -12
Warum setze ich hier (rot markiert) nur für ein [mm] x^2 [/mm] die -2 ein? Muss ich das nicht für alle x machen? Bzw. warum mache ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1. x > 2
>
> f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge[/mm] 0 [mm]\ge[/mm] -12
>
> 2. |x| [mm]\le[/mm] 2
>
> f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}(0-1)+2x \ge[/mm] -2*4+2*(-2) =
> -12
>
> 3. x < -2
>
> f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
> = [mm]2x^{2}(x^{2}-1)+2x \ge 2x^{2}( [red]4[/red] -1)+2x[/mm] = [mm]6x^{2}[/mm] + 2x
> [mm]\ge[/mm] 6*(-2)*x+2x = -10x [mm]\ge[/mm] 20 [mm]\ge[/mm] -12
>
> Warum setze ich hier (rot markiert) nur für ein [mm]x^2[/mm] die -2
> ein? Muss ich das nicht für alle x machen? Bzw. warum
> mache ich das?
in Formel schreibst Du nicht [mm] $[red]2[/red]\,,$ [/mm] sondern [mm] $\red{2}$ [/mm] (fahr'
mit der Maus drüber).
Dein Dozent hat übrigens nicht ganz willkürlich eine untere Schranke
gewählt, sondern er hat vielmehr aus allen unteren Schranken eine
willkürlich gewählt. 
Aber zum Fall 3:
Hier ist $x < [mm] -2\,.$ [/mm] Du willst nun wissen, warum gilt denn
[mm] $$2x^2(x^2-1)+2x \ge 2x^2*(\red{\;4\;}-1)+2x\,.$$
[/mm]
Nun ja, ich zeig' Dir einfach mal, wie Du Dir sowas selbst überlegen
kannst:
Es gilt doch sicher
[mm] $$2x^2(x^2-1)+2x \ge 2x^2*(4-1)+2x$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 2x^2(x^2-1) \ge 2x^2*(4-1)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (\*)$$
[/mm]
und weil [mm] $2x^2 [/mm] > 0$ für alle $x < [mm] -2\,$ [/mm] ist
[mm] $$(\*) \gdw x^2-1 \ge [/mm] 4-1$$
[mm] $$x^2 \ge 4\,.$$
[/mm]
Was bringen uns diese Umformungen? Nun, wichtig dabei ist, dass wir,
wenn wir für $x < [mm] -2\,$ [/mm] auch [mm] $x^2 \ge [/mm] 4$ beweisen können, dann
alles von unten nach oben lesen können und bei den [mm] "$\gdw$" [/mm] die
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] benutzen können, um daraus die Behauptung
[mm] $$2x^2(x^2-1)+2x \ge 2x^2*(4-1)+2x$$
[/mm]
für alle $x < [mm] -2\,$ [/mm] zu folgern.
Damit es ganz klar wird, schreibe ich es nochmal komplett auf:
Es gilt
$$x < [mm] -2\,$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] -2$$
[mm] $$\Rightarrow x^2 \ge [/mm] 4$$
[mm] $$\Rightarrow x^2-1 \ge [/mm] 4-1$$
[mm] $$\Rightarrow 2x^2(x^2-1) \ge 2x^2\cdot{}(4-1) [/mm] $$
[mm] $$\Rightarrow 2x^2(x^2-1)+2x \ge 2x^2(4-1)+2x\,.$$
[/mm]
Soweit das ganze Prozedere, wenn man eine Ungleichung sieht, die man
nicht direkt glaubt: Man kann versuchen, sie so bzw. analog zu beweisen.
Warum hat Dein Dozent das direkt gemacht? Naja, es sagt halt:
Wenn $x < [mm] -2\,$ [/mm] ist, dann ist $x [mm] \le -2\,$ [/mm] und damit [mm] $x^2 \ge [/mm] 4$und somit
wird [mm] $2x^2(x^2-1)+2x$ [/mm] sicher nur kleiner werden, wenn man
[mm] $\red{+\;}x^2$ [/mm] durch [mm] $(-2)^2=4$ [/mm] ersetzt. Daraus folgt sofort
[mm] $$2x^2*(x^2-1)+2x \ge 2x^2*(4-1)+2x\,.$$
[/mm]
Und natürlich könnte er nun auch
[mm] $$2x^2*(x^2-1)+2x \ge 2x^2*(4-1)+2x \ge [/mm] 2*4*(4-1)+2x$$
schreiben. (Mach' Dir klar, warum und dass das auch geht!)
Ganz unbedacht darf man aber bei solchen Abschätzungen nicht vorgehen,
denn betrachte mal den Ausdruck
[mm] $$x*(x^2)\,.$$
[/mm]
Und auch hier nehmen wir an, wir wollten den abschätzen mit dem Wissen,
dass doch [mm] $x^2 \ge 4\,$ [/mm] gelte:
Wenn Du nun unbedacht abschätzen würdest, würdest Du vielleicht einfach
schreiben wollen:
$$x < -2 [mm] \Rightarrow x^2 \ge 4\,,$$
[/mm]
also gilt [mm] $x*x^2 \ge x*4\,.$
[/mm]
Das ist aber falsch - denn wegen $x < [mm] -2\,$ [/mm] gilt ja $x < [mm] 0\,.$
[/mm]
Aus [mm] $x^2 \ge [/mm] 4$ folgt dann aber [mm] $x*x^2 \blue{\;\le\;}x*4\,.$
[/mm]
Und dass Dein Dozent erstmal nur
[mm] $$2\underbrace{x^2}_{\ge 0}\underbrace{(x^2-1)}_{\ge 0 \text{ wegen }x < -2}+2x \ge 2x^2*(\red{4}-1)+2x$$
[/mm]
abgeschätzt hat, und nicht dann die Abschätzung so, wie ich es oben
angedeutet habe, weitergeführt hat, kann man eigentlich nur so
begründen:
Je mehr Terme ich "durch 'grobe Abschätzungen' "entferne"", desto gröber
wird ja auch die Aussage, die am Ende in der Ungleichung steht. Je öfter
ich also [mm] $x^2$ [/mm] ersetze, desto höher ist der Informationsverlust.
Das siehst Du auch:
Dein Dozent hatte aus $x < [mm] -2\,$ [/mm] gefolgert:
[mm] $$2x^2(x^2-1)+2x \ge [/mm] ... [mm] \ge 20\,.$$
[/mm]
(Nebenbei: Zwischendrin benutzt er dabei auch:
$x < -2 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] -2 [mm] \Rightarrow x^2=x*x \ge (-2)*x\,.$)
[/mm]
Ich hatte, wenn ich direkt [mm] $x^2 \ge [/mm] 4$ an zwei Stellen benutze, "nur"
[mm] $$2x^2(x^2-1)+2x \ge [/mm] 24+2x$$
gefolgert. Das bringt uns nicht viel, denn [mm] $24+2x\,$ [/mm] ist auf [mm] $]-\infty,-2]$
[/mm]
nach unten unbeschränkt!
Daher: Lieber "in einzelnen Schritten immer ein bisschen" abschätzen, als
zuviel auf einmal abzuschätzen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mir ist einiges klarer geworden, aber anderes nicht. Ich
> habe noch ein paar ganz grundsätzliche Fragen. Die
> Funktion habe ich mir mal zeichnen lassen. Die Nullstellen
> habe ich berechnet etc. Extrema auch, Wendepunkte ...
>
> Warum nimmt mein Dozent als c=-12 an? Ist der Wert einfach
> frei gewählt? Dann könnte ich rein hypothetisch auch
> einfach sagen c=-4071? Die Funktion ist sowas bei -2, ...
> nach unten begrenzt und nicht bei -12.
ist [mm] $u\,$ [/mm] eine untere Schranke für [mm] $f\,,$ [/mm] so ist auch jedes $u'$ mit
$u' < u$ eine untere Schranke für [mm] $f\,:$
[/mm]
Gilt nämlich
$$f(x) [mm] \ge [/mm] u$$
für alle [mm] $x\,,$ [/mm] dann gilt wegen
$$f(x) [mm] \ge [/mm] u > u' [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \ge [/mm] u'$$
insbesondere
$$f(x) [mm] \ge [/mm] u'$$
für alle [mm] $x\,.$
[/mm]
> Die Fallunterscheidung mit den 2er Werten ist also frei
> gewählt, habe ich das richtig verstanden?
Nein, ganz sicher ist sie nicht frei gewählt. Sie ist eher einer Methode
angepasst, nach der Dein Dozent vorgegangen ist. Ich habe halt
andere Methoden vorgeschlagen! Wenn Du meine verstehst, ist ja
schon viel gewonnen. Und dann kannst Du nochmal Deinen Dozenten
fragen, wieso er bei seiner Methode diese Fallunterscheidungen so
getroffen hat, wie er das getan hat, wenn Du nicht erkennst, dass er
analoges zu mir nur mit einer anderen Methode gemacht hat. Ich hatte
da bis dato noch keine Lust, mich da reinzudenken - zumal ich die von
mir vorgeschlagene Methode, die ohne Fallunterscheidung auskommt, eh
bevorzugen würde.
Und um nochmal auf obiges zurückzukommen:
Die größte untere Schranke für [mm] $f\,$ [/mm] (man würde sie Infimum von [mm] $f\,$ [/mm]
nennen) ist ja gar nicht gefragt. Und sie ist zwar nahe der [mm] $-2\,,$ [/mm] aber
sie wird nicht [mm] $=-2\,,$ [/mm] sondern $< [mm] -2\,$ [/mm] sein:
Dazu plotte - bzw. lass' Dir plotten - einfach mal [mm] $g(x):=f(x)+2\,.$
[/mm]
Wenn Du die größte untere Schranke berechnen wolltest, so sollte das
meines Erachtens nach tatsächlich auch gehen. Aber man braucht dann
vielleicht ![[]](/images/popup.gif) sowas hier (klick!).
Denn: Man berechnet einfach das lokale Minimum von [mm] $f\,,$ [/mm] das ist hier
auch das globale (auf einen formalen Beweis verzichte ich, man sieht
es an dem Plot und kann sogar die Monotonieargumente, die ich erwähnte,
verwenden, um "genauere Argumente" hervorzubringen).
Die Funktion [mm] $f(x):=2x^4-2x^2+2x$ [/mm] hat die Ableitung [mm] $f'(x)=8x^3-4x+2$
[/mm]
und die zweite Ableitung [mm] $f''(x)=24x^2-4\,.$ [/mm] So anhand des Plottes würde
ich sagen, dass sich das lokale Minimum schonmal grob jedenfalls im
Bereich [mm] $[-1.5,\;-0.5]$ [/mm] befindet: Und dort ist sicher $f''(x) > [mm] 0\,.$
[/mm]
Um die Nullstelle von [mm] $f'(x)=8x^3-4x+2$ [/mm] zu berechnen, bemühe halt,
wie angedeutet, die Cardanische Formel. Sie sollte sich dann im Bereich
[mm] $[-1.5,\;-0.5]$ [/mm] befinden, und damit ist an der Nullstelle von $f'$ halt das
lokale Minimum von [mm] $f\,$ [/mm] gefunden: Nennen wir die Stelle mal [mm] $x_m$ [/mm]
("Minimalstelle"). Durch berechnen von [mm] $f(x_m)$ [/mm] kannst Du dann die größte
untere Schranke für [mm] $f\,$ [/mm] berechnen!
Aber nötig ist das, wie gesagt, NICHT!
P.S.
Spaßeshalber habe ich das mal ausgerechnet:
Die obige Funktion nimmt ihr Minimum an der Stelle
[mm] $$x_m=\sqrt[3]{-\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{19}{1728}}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{8}-\sqrt{\frac{19}{1728}}} \approx [/mm] -0.884646177$$
an.
Damit wäre die größte untere Schranke, also das Infimum von [mm] $f\,,$ [/mm] so
[mm] $\approx -2.10956812\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Monotonie,
> Beschränktheit, Achsen- und Punktsymmetrie
>
> Hallo Leute,
>
> gegeben ist folgende Funktion: f(x) = [mm]2x^{4}-2x^{2}+2x[/mm]
>
> Soweit überhaupt kein Problem. Ich setze die Werte -2, 0
> und 2 ein und sehe, dass die Funktion nach unten
> beschränkt ist. Durch f(-x) kann ich zudem feststellen,
> dass keine Symmetrie vorliegt, weil f(-x) =
> [mm]2x^{4}-2x^{2}-2x[/mm]
>
> Jetzt hat mein Dozent allerdings gesagt, dass keine
> Monotonie vorliegt (klar!), ist ja nach unten begrenzt.
> Allerdings sagt er auch "eine untere Grenze ist z.B. c=-12"
> und um dies zu zeigen "muss eine Fallunterscheidung
> vorgenommen werden."
man muss übrigens keine Fallunterscheidung vornehmen, wenn man
ein wenig geschickt vorgeht:
Zu zeigen ist
[mm] $$2x^4-2x^2+2x+12 \ge [/mm] 0$$
für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Es gilt
[mm] $$2x^4-2x^2+2x+12 \ge [/mm] 0$$
[mm] $$\gdw x^4+6 -(x^2-x) \ge 0\,.$$
[/mm]
Nun ist aber leicht zu beweisen, dass stets gilt:
[mm] $$x^2-x \le 2x^2+2\,,$$
[/mm]
denn es ist:
[mm] $$x^2+x+2=(x+1/2)^2+3/4 \ge 0\,.$$
[/mm]
Aus [mm] $x^2+x+2 \ge [/mm] 0$ folgt dann aber [mm] $2x^2+2 \ge x^2-x\,.$
[/mm]
Also gilt:
[mm] $$x^4+6-(x^2-x) \ge x^4+6-(2x^2+2)=x^4-2x^2+4=(x^2-1)^2+3 \ge 3\,.$$
[/mm]
Wir haben so also sogar gezeigt:
[mm] $$x^4-(x^2-x) \ge [/mm] -3$$
Also sogar
[mm] $$f(x)=2x^4-2x^2+2x=2*(x^4-x^2+x) \ge [/mm] 2*(-3)=-6$$
für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Insbesondere wegen $-6 > -12$ natürlich auch
[mm] $$f(x)=2x^4-2x^2+2x=2*(x^4-x^2+x) \ge [/mm] -12$$
für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Kannst Du Deinem Dozenten ja mal vor die Nase halten und ihn bitten,
aus dem "Man muß Fallunterscheidungen treffen..." ein "Man KANN dies
beweisen, indem man Fallunterscheidungen trifft..." zu machen. Denn von
MÜSSEN="das ist notwendig" kann hier keine Rede sein!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:00 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
nur mal kurz zur Monotonie, damit das mal richtig abgehandelt wird:
Es ist [mm] $f(x)=2*x^4-2*x^2+2x$ [/mm] und daher [mm] $f'(x)=8x^3-4x+2\,.$ [/mm] Ferner
ist [mm] $f''(x)=24x^2-4\,.$
[/mm]
Wegen $f''(x) > 0$ für alle $x > [mm] 1\,$ [/mm] ist DIE ERSTE ABLEITUNG $f'$ sicher
monoton wachsend auf [mm] $]1,\infty[\,.$ [/mm] Wegen [mm] $f'(1)=8*1^3-4*1+2=6 [/mm] >0$
folgt dann, dass DIE ERSTE ABLEITUNG erfüllt $f'(x) > 0$ für alle $x [mm] \in ]1,\infty[\,.$ [/mm] Daraus folgt, das DIE AUSGANGSFUNKTION [mm] $f\,$ [/mm] streng wächst
auf [mm] $]1,\infty[\,.$
[/mm]
Analog:
Wegen $f''(x) > 0$ für alle $x < -1$ ist DIE ERSTE ABLEITUNG $f'$ sicher
monoton wachsend auf [mm] $]-\infty,-1[\,.$ [/mm] Wegen [mm] $f'(-1)=8*(-1)^3-4*(-1)+2=-8+4+2=-2 [/mm] < 0$
erfüllt dann $f'$ geradewegs $f'(x) < 0$ für alle $x [mm] \in ]-\infty,-1[\,.$
[/mm]
Daraus folgt, dass die AUSGANGSFUNKTION [mm] $f\,$ [/mm] aber auf [mm] $]-\infty,-1[$
[/mm]
streng fallend ist.
Insgesamt haben wir erkannt: [mm] $f\,$ [/mm] ist streng fallend jedenfalls auf
[mm] $]-\infty,-1[$ [/mm] und [mm] $f\,$ [/mm] wächst streng auf [mm] $]1,\infty[\,.$ [/mm] Damit kann
[mm] $f\,$ [/mm] nicht mehr insgesamt monoton sein!
Und wie gesagt: Es gibt viele monotone Funktionen, die beschränkt sind:
[mm] $\bullet$ [/mm] $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] für $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist streng monoton wachsend
und durch [mm] $0\,$ [/mm] nach unten beschränkt.
[mm] $\bullet$ [/mm] $x [mm] \mapsto -e^x$ [/mm] für $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist streng monoton fallend
und durch [mm] $0\,$ [/mm] nach oben beschränkt.
[mm] $\bullet$ [/mm] $x [mm] \mapsto \arctan(x)$ [/mm] für $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist streng monoton wachsend durch [mm] $-\pi/2$ [/mm] nach unten und durch [mm] $\pi/2$ [/mm] nach oben beschränkt.
Und damit Du gar nicht mehr auf solche komischen Gedanken kommst, dass
Beschränktheit die Monotonie ausschließe: Folgen sind ja spezielle
Funktionen bzw. können zumindest so aufgefasst werden. Was sagt denn
der Hauptsatz über monotone Folgen aus?
Gruß,
Marcel
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> Hallo nochmal,
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> nur mal kurz zur Monotonie, damit das mal richtig
> abgehandelt wird:
> Es ist [mm]f(x)=2*x^4-2*x^2+2x[/mm] und daher [mm]f'(x)=8x^3-4x+2\,.[/mm]
> Ferner
> ist [mm]f''(x)=24x^2-4\,.[/mm]
>
> Wegen [mm]f''(x) > 0[/mm] für alle [mm]x > 1\,[/mm] ist DIE ERSTE ABLEITUNG
> [mm]f'[/mm] sicher
> monoton wachsend auf [mm]]1,\infty[\,.[/mm] Wegen
> [mm]f'(1)=8*1^3-4*1+2=6 >0[/mm]
> folgt dann, dass DIE ERSTE
> ABLEITUNG erfüllt [mm]f'(x) > 0[/mm] für alle [mm]x \in ]1,\infty[\,.[/mm]
> Daraus folgt, das DIE AUSGANGSFUNKTION [mm]f\,[/mm] streng wächst
> auf [mm]]1,\infty[\,.[/mm]
>
> Analog:
> Wegen [mm]f''(x) > 0[/mm] für alle [mm]x < -1[/mm] ist DIE ERSTE ABLEITUNG
> [mm]f'[/mm] sicher
> monoton wachsend auf [mm]]-\infty,-1[\,.[/mm] Wegen
> [mm]f'(-1)=8*(-1)^3-4*(-1)+2=-8+4+2=-2 < 0[/mm]
> erfüllt dann [mm]f'[/mm]
> geradewegs [mm]f'(x) < 0[/mm] für alle [mm]x \in ]-\infty,-1[\,.[/mm]
>
> Daraus folgt, dass die AUSGANGSFUNKTION [mm]f\,[/mm] aber auf
> [mm]]-\infty,-1[[/mm]
> streng fallend ist.
>
> Insgesamt haben wir erkannt: [mm]f\,[/mm] ist streng fallend
> jedenfalls auf
> [mm]]-\infty,-1[[/mm] und [mm]f\,[/mm] wächst streng auf [mm]]1,\infty[\,.[/mm]
> Damit kann
> [mm]f\,[/mm] nicht mehr insgesamt monoton sein!
>
> Und wie gesagt: Es gibt viele monotone Funktionen, die
> beschränkt sind:
> [mm]\bullet[/mm] [mm]x \mapsto e^x[/mm] für [mm]x \in \IR[/mm] ist streng
> monoton wachsend
> und durch [mm]0\,[/mm] nach unten beschränkt.
> [mm]\bullet[/mm] [mm]x \mapsto -e^x[/mm] für [mm]x \in \IR[/mm] ist streng
> monoton fallend
> und durch [mm]0\,[/mm] nach oben beschränkt.
> [mm]\bullet[/mm] [mm]x \mapsto \arctan(x)[/mm] für [mm]x \in \IR[/mm] ist streng
> monoton wachsend durch [mm]-\pi/2[/mm] nach unten und durch [mm]\pi/2[/mm]
> nach oben beschränkt.
>
> Und damit Du gar nicht mehr auf solche komischen Gedanken
> kommst, dass
> Beschränktheit die Monotonie ausschließe: Folgen sind ja
> spezielle
> Funktionen bzw. können zumindest so aufgefasst werden. Was
> sagt denn
> der Hauptsatz über monotone Folgen aus?
Eine monoton wachsende nach oben beschränkte Folge ist konvergent. Meinst du das?
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Und damit Du gar nicht mehr auf solche komischen Gedanken
> > kommst, dass
> > Beschränktheit die Monotonie ausschließe: Folgen sind
> ja
> > spezielle
> > Funktionen bzw. können zumindest so aufgefasst werden. Was
> > sagt denn
> > der Hauptsatz über monotone Folgen aus?
>
> Eine monoton wachsende nach oben beschränkte Folge ist
> konvergent. Meinst du das?
ja, bzw. eine monoton fallende nach unten beschränkte Folge ist auch
konvergent. Na: Da hast Du doch schon in der Formulierung des Satzes
die - einseitige - Beschränktheit und Monotonie zugleich! (Wobei man
bei solchen Folgen dann auch die Beschränktheit schließen könnte.)
Gruß,
Marcel
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