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Hi,
ich suche Informationen über Faktorstrukturen (finde im www so gut wie nichts, kennt jemand gute Links, oder kann mir erklären worum es da geht.
Mir ist derzeit nur klar, dass es einfach ein Verknüpfungsgebilde mit einer verträglichen ÄR ~ verknüpft wird, und daraus eine Faktorstruktur entsteht, welche wieder die gleichen Eigenschaften (bzgl. assoziativität, kommutativitält) hat als das ursprüngliche Verknüpfungsgebilde.
Was sollte man sonst noch über Faktorstrukturen wissen?
Wie zeigt mann dass wenn (G,°) eine Gruppe mit ÄR ~ vertäglich ist, dass auch (G/~,°) wieder eine Gruppe ist?
Hoffe es kann mir jemand helfen,
mfg Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Natürlich gibt es zu dem Thema eine Menge zu erzählen, vor allem, wenn man dann in die spezielleren Faktorstrukturen der Vektorräume, Gruppen, Ringe, Moduln... einsteigt. Aber das führt hier zu weit, wenn ich das alles genauer ausführe. Du könntest auch mal unter Stichworten wie "Faktorgruppe", "Faktorraum", "Faktorring", "Quotientenstruktur", "Quotientenraum", "Quotientengruppe",... nachschauen.
Bezüglich deiner letzten Frage kannst du dir ja mal meine Antwort in diesem Strang anschauen, dort beweise ich exemplarisch das Assoziativgesetz in der Faktorstruktur. Letztendlich führt man also alle Gesetze auf die Repräsentanten zurück, da die Operationen ja repräsentantenweise definiert sind!
Liebe Grüße
Stefan
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Danke!
Mir ist jetzt die Assoziativität, neutrales Element, und Inverses Element klar! Wie sieht es mit der Abgeschlossenheit aus? Folgt diese automatisch aus der Verträglichkeit mit der Äquivalenzrelation?
mfg,
Martin> Hallo!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Naja, wir wissen ja, dass [mm] $(G,\circ)$ [/mm] eine Gruppe ist. Daher gilt für alle $g,h [mm] \in [/mm] G$ auf jeden Fall $g [mm] \circ [/mm] h [mm] \in [/mm] G$.
Es seien jetzt
$[g],[h] [mm] \in (G/\sim,\odot)$. [/mm] Dann gilt: [mm] $g\in [/mm] G$, $h [mm] \in [/mm] G$ und daher auch $g [mm] \circ [/mm] h [mm] \in [/mm] G$.
Weiterhin ist aber nach Definition:
$[g] [mm] \odot [/mm] [h] = [g [mm] \circ [/mm] h]$.
Da aber, wie oben gesehen, $g [mm] \circ [/mm] h [mm] \in [/mm] G$ gilt, folgt nach Definition auch $[g [mm] \circ [/mm] h] [mm] \in G/\sim$, [/mm] was zu zeigen war.
Jetzt klarer? 
Liebe Grüße
Stefan
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