Faktorring R[X][Y] ~= L < R[X] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Sa 08.11.2014 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Setze [mm] $L=\left\{ \textstyle\sum_{i=0}^\infty a_i X^i \in R[x] \mid a_1=0\right\}$ [/mm]
(1) Zeigen Sie, dass $L$ ein Unterring von $R[X]$ ist, nicht jedoch ein Ideal in $R[X]$.
(2) Zeigen Sie, dass $L$ als Ring isomorph ist zum Faktorring
[mm] $R[X][Y]\slash (X^2-Y^3).$ [/mm] |
Guten Abend,
irgendwie hänge ich am zweiten Teil dieser Aufgabe fest (1 ist erledigt), und komme kein Stück weiter. Erstmal meine Idee, wie ich die Aufgabe lösen will:
Ich will „den“ Homomorphiesatz benutzen, also einen surjektiven Ringhomomorphismus [mm] $\phi\colon [/mm] R[X][Y] [mm] \to [/mm] L$ finden mit [mm] $\ker \phi [/mm] = [mm] (X^2-Y^3)$. [/mm] Dann wäre ich ja fertig. Dann habe ich, weil ich keine Ahnung hatte wie solch ein Homomorphismus auszusehen hätte, erstmal ein bisschen im Internet recherchiert und dabei zwei Fragen auf dem Matheplaneten gefunden (![[]](/images/popup.gif) hier und hier), die sich um diese Aufgabe drehen (die Aufgabe entspricht, mehr oder weniger, einer Aufgabe aus dem Bosch). Die Ausführung dort bringen mich aber nicht so wirklich weiter. Die Idee [mm] $\phi(X)=X^3, \phi(Y)=X^2$ [/mm] zu setzen, soll ja wohl irgendwie sicherstellen, dass der Kern stimmt. Aber irgendwie sehe ich nicht so ganz, warum dann auch die restlichen Anforderungen alleine daraus schon folgen sollen, also Wohldefiniertheit [mm] ($a_1=0$), [/mm] Surjektivität und die Homomorphismuseigenschaft.
Was ich versucht hätte, wäre [mm] $\phi$ [/mm] als einen geeigneten Einsetzungshomomorphismus zu definieren, dann wäre zumindest schon mal die Homomorphismuseigenschaft gegessen. Wahrscheinlich ist mit dem Setzen von [mm] $\phi(X)=X^3, \phi(Y)=X^2$ [/mm] sogar schon (eine Art) Einsetzungshomomorphismus gemeint, aber wenn ja, dann habe ich ein paar Probleme ihn als solchen zu indentifizieren.
Könntet ihr mir hier vielleicht einen Schubs in die richtige Richtung geben?
|
|
| |
|
Hallo,
> Setze [mm]L=\left\{ \textstyle\sum_{i=0}^\infty a_i X^i \in R[x] \mid a_1=0\right\}[/mm]
>
> (1) Zeigen Sie, dass [mm]L[/mm] ein Unterring von [mm]R[X][/mm] ist, nicht
> jedoch ein Ideal in [mm]R[X][/mm].
>
> (2) Zeigen Sie, dass [mm]L[/mm] als Ring isomorph ist zum Faktorring
> [mm]R[X][Y]\slash (X^2-Y^3).[/mm]
> Guten Abend,
> irgendwie hänge ich am zweiten Teil dieser Aufgabe fest (1
> ist erledigt), und komme kein Stück weiter. Erstmal meine
> Idee, wie ich die Aufgabe lösen will:
>
> Ich will „den“ Homomorphiesatz benutzen, also einen
> surjektiven Ringhomomorphismus [mm]\phi\colon R[X][Y] \to L[/mm]
> finden mit [mm]\ker \phi = (X^2-Y^3)[/mm]. Dann wäre ich ja fertig.
> Dann habe ich, weil ich keine Ahnung hatte wie solch ein
> Homomorphismus auszusehen hätte, erstmal ein bisschen im
> Internet recherchiert und dabei zwei Fragen auf dem
> Matheplaneten gefunden
> (hier
> und
> hier),
> die sich um diese Aufgabe drehen (die Aufgabe entspricht,
> mehr oder weniger, einer Aufgabe aus dem Bosch). Die
> Ausführung dort bringen mich aber nicht so wirklich
> weiter. Die Idee [mm]\phi(X)=X^3, \phi(Y)=X^2[/mm] zu setzen, soll
> ja wohl irgendwie sicherstellen, dass der Kern stimmt. Aber
> irgendwie sehe ich nicht so ganz, warum dann auch die
> restlichen Anforderungen alleine daraus schon folgen
> sollen, also Wohldefiniertheit ([mm]a_1=0[/mm]), Surjektivität und
> die Homomorphismuseigenschaft.
>
> Was ich versucht hätte, wäre [mm]\phi[/mm] als einen geeigneten
> Einsetzungshomomorphismus zu definieren, dann wäre
> zumindest schon mal die Homomorphismuseigenschaft gegessen.
> Wahrscheinlich ist mit dem Setzen von [mm]\phi(X)=X^3, \phi(Y)=X^2[/mm]
> sogar schon (eine Art) Einsetzungshomomorphismus gemeint,
> aber wenn ja, dann habe ich ein paar Probleme ihn als
> solchen zu indentifizieren.
>
> Könntet ihr mir hier vielleicht einen Schubs in die
> richtige Richtung geben?
Versuchs mal so:
Sei [mm] $L:=\{f \in K[T] | a_1=0 \} [/mm] $
und
$R[X][Y] [mm] \to [/mm] L [mm] \quad X\mapsto T^3, [/mm] Y [mm] \mapsto T^2$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Sa 08.11.2014 | | Autor: | Lustique |
Hallo,
> Versuchs mal so:
> Sei [mm]L:=\{f \in K[T] | a_1=0 \}[/mm]
> und
> [mm]R[X][Y] \to L \quad X\mapsto T^3, Y \mapsto T^2[/mm]
danke für den Tipp, aber die Idee hatte ich auch schon (gefunden/geklaut), siehe (Ende 2. Absatz von Ursprungsfrage):
[…]
> weiter. Die Idee [mm]\phi(X)=X^3, \phi(Y)=X^2[/mm] zu setzen, soll
[…]
Abgesehen von den etwas anderen Bezeichnungen habe ich also schon versucht deinen Tipp umzusetzen, komme damit aber nicht weiter.
|
|
|
| |
|
Ich hab deines durchaus gelesen. Der Unterschied, ist dass bei mir Variablen nicht doppelt belegt sind was dem Verständnis gern dient.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Sa 08.11.2014 | | Autor: | Lustique |
> Ich hab deines durchaus gelesen. Der Unterschied, ist dass
> bei mir Variablen nicht doppelt belegt sind was dem
> Verständnis gern dient.
Dann entschuldige die Unterstellung. Es hilft mir allerdings trotzdem nicht weiter. Ich werde morgen früh noch mal mit frischeren Augen drauf gucken, vielleicht leuchtet es mir dann ein. Ich habe ja auch nur nach einem Schubs gefragt, aber der war vielleicht ein wenig zu zaghaft, sozusagen.
Deine Definition von $L$ fand ich allerdings spontan etwas missverständlich. Wenn ich $K$ sehe denke ich automatisch an Körper. :D
---------------------------------------------------------------------
EDIT:
Nachdem ich mich gestern, anders als angekündigt, erstmal mit den anderen Aufgaben meines Zettels beschäftigt habe, habe ich mich jetzt nochmal an die Aufgabe hier gesetzt, komme da aber nicht wirklich weiter.
Wenn ich einfach mal annehme, dass das [mm] $\phi$ [/mm] so wie beschrieben tatsächlich ein Homomorphismus ist, und man eine Abbildung überhaupt so wie im ersten Post von justdroppingby bzw. in meiner Ursprungsfrage definieren kann, habe ich immer noch ein paar Probleme.
Zu beweisen, dass [mm] $(X^2-Y^3)\subseteq \ker \phi$ [/mm] war kein Problem, aber die Rückrichtung macht mir etwas Schwierigkeiten. Wenn ich mal annehme, dass der Leitkoeffizient von [mm] $(X^2-Y^3) \in [/mm] R[X][Y]$ als Polynom [mm] $1\in [/mm] R[X]$ ist (mit [mm] $\deg(X^2-Y^3) [/mm] = 3$), dann kann ich ja [mm] $f\in\ker\phi$ [/mm] eindeutig darstellen als [mm] $f=q\cdot (X^2-Y^3) [/mm] + r$ mit $q, [mm] r\in [/mm] R[X][Y]$ und [mm] $\deg(r)\leqslant [/mm] 2$, da ja [mm] $1\in R[X]^\star.$ [/mm]
Dann bekäme ich bspw. die Gleichung [mm] $0=\phi(f)=\phi(q\cdot (X^2-Y^3)) [/mm] + [mm] \phi(r) \iff [/mm] 0 = [mm] \phi(r) \iff [/mm] r [mm] \in \ker\phi$. [/mm] Ich hatte die Hoffnung, dieser Ansatz bringt mich weiter, aber da ich nicht mal genau weiß, was [mm] $\phi$ [/mm] überhaupt macht, komme ich hier nicht weiter. Vielleicht ist das aber auch sowieso eine Sackgasse.
Das [mm] $\phi$ [/mm] nun bspw. wohldefiniert ist leuchtet mir mittlerweile auch ein, aber ich weiß nicht, wie ich das vernünftig beweisen sollte. Natürlich wären im Bild von [mm] $\phi$ [/mm] keine $Y$ mehr vorhanden, und auch keine [mm] $X^1$, [/mm] und aus den Kombinationen von [mm] $X\to X^2$ [/mm] und [mm] $Y\to X^3$ [/mm] sollten sich auch alle Potenzen von $X$ erzeugen lassen, mit Ausnahme von [mm] $X^1$, [/mm] aber wie man das formal aufschreibt: ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Und dann wäre da noch das Problem, dass ich keine Ahnung habe, wie man (vernünftig) zeigen kann, das [mm] $\phi$ [/mm] mit der angegebenen „Minimaldefinition“ überhaupt ein Ringhomomorphismus ist.
Es wäre also schön, wenn ein Moderator vielleicht die Ausgangsfrage wieder auf unbeantwortet setzen könnte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Mo 10.11.2014 | | Autor: | Lustique |
Ich habe mal meine letzte Frage aktualisiert.
|
|
|
| |
|
> > Ich hab deines durchaus gelesen. Der Unterschied, ist dass
> > bei mir Variablen nicht doppelt belegt sind was dem
> > Verständnis gern dient.
>
> Dann entschuldige die Unterstellung. Es hilft mir
> allerdings trotzdem nicht weiter. Ich werde morgen früh
> noch mal mit frischeren Augen drauf gucken, vielleicht
> leuchtet es mir dann ein. Ich habe ja auch nur nach einem
> Schubs gefragt, aber der war vielleicht ein wenig zu
> zaghaft, sozusagen.
>
> Deine Definition von [mm]L[/mm] fand ich allerdings spontan etwas
> missverständlich. Wenn ich [mm]K[/mm] sehe denke ich automatisch an
> Körper. :D
>
> ---------------------------------------------------------------------
>
> EDIT:
>
> Nachdem ich mich gestern, anders als angekündigt, erstmal
> mit den anderen Aufgaben meines Zettels beschäftigt habe,
> habe ich mich jetzt nochmal an die Aufgabe hier gesetzt,
> komme da aber nicht wirklich weiter.
>
> Wenn ich einfach mal annehme, dass das [mm]\phi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
so wie
> beschrieben tatsächlich ein Homomorphismus ist, und man
> eine Abbildung überhaupt so wie im ersten Post von
> justdroppingby bzw. in meiner Ursprungsfrage definieren
> kann, habe ich immer noch ein paar Probleme.
Die von mir verwendete Schreibweise:
$\varphi : R[X][Y] \to L=\{f \in R[T}| a_1=0\} \quad X \mapsto T^3 , Y \mapsto T^2$
definiert einen Homomorphimus in dem Sinn, dass es genau einen Homomorphismus gibt mit diesen Bildern, der R auch noch festlässt.
Das zu zeigen wäre wohl eine gute Übung.
Das ist hier sehr ahnlich zum Vorgehen z.B. in der linearen Algebra lineare Abb. durch die Bilder der Basis zu definieren.
Also was ist z.B. $\varphi(X^2)$ ?oder $\varphi(Y^2)?
> Zu beweisen, dass [mm](X^2-Y^3)\subseteq \ker \phi[/mm] war kein
> Problem, aber die Rückrichtung macht mir etwas
> Schwierigkeiten. Wenn ich mal annehme, dass der
> Leitkoeffizient von [mm](X^2-Y^3) \in R[X][Y][/mm] als Polynom [mm]1\in R[X][/mm]
> ist (mit [mm]\deg(X^2-Y^3) = 3[/mm]), dann kann ich ja [mm]f\in\ker\phi[/mm]
> eindeutig darstellen als [mm]f=q\cdot (X^2-Y^3) + r[/mm] mit [mm]q, r\in R[X][Y][/mm]
> und [mm]\deg(r)\leqslant 2[/mm], da ja [mm]1\in R[X]^\star.[/mm]
> Dann bekäme ich bspw. die Gleichung [mm]0=\phi(f)=\phi(q\cdot (X^2-Y^3)) + \phi(r) \iff 0 = \phi(r) \iff r \in \ker\phi[/mm].
Das sieht doch gut aus.
Damit ist r von der Form: [mm] $a_{00}+a{10}X+a{20}X^2+a_{01}Y+a_{02}Y^2 +a_{11}XY$ [/mm]
und das Bild wird nur dann Null wenn alle Koeffizienten Null sind.
> Ich hatte die Hoffnung, dieser Ansatz bringt mich weiter,
> aber da ich nicht mal genau weiß, was [mm]\phi[/mm] überhaupt
> macht, komme ich hier nicht weiter. Vielleicht ist das aber
> auch sowieso eine Sackgasse.
>
> Das [mm]\phi[/mm] nun bspw. wohldefiniert ist leuchtet mir
> mittlerweile auch ein, aber ich weiß nicht, wie ich das
> vernünftig beweisen sollte. Natürlich wären im Bild von
> [mm]\phi[/mm] keine [mm]Y[/mm] mehr vorhanden, und auch keine [mm]X^1[/mm], und aus
> den Kombinationen von [mm]X\to X^2[/mm] und [mm]Y\to X^3[/mm] sollten sich
> auch alle Potenzen von [mm]X[/mm] erzeugen lassen, mit Ausnahme von
> [mm]X^1[/mm], aber wie man das formal aufschreibt:
Vielleicht so: 1 lässt sich nicht als Summe von Vielfachen von 2 bzw. 3 darstellen, alle größeren natürlichen Zahlen dagegen schon.
> Und dann wäre da noch das Problem, dass ich keine Ahnung
> habe, wie man (vernünftig) zeigen kann, das [mm]\phi[/mm] mit der
> angegebenen „Minimaldefinition“ überhaupt ein
> Ringhomomorphismus ist.
>
> Es wäre also schön, wenn ein Moderator vielleicht die
> Ausgangsfrage wieder auf unbeantwortet setzen könnte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 10.11.2014 | | Autor: | Lustique |
Vielen Dank für deine Antwort!
> Die von mir verwendete Schreibweise:
> [mm]\varphi : R[X][Y] \to L=\{f \in R[T}| a_1=0\} \quad X \mapsto T^3 , Y \mapsto T^2[/mm]
>
> definiert einen Homomorphimus in dem Sinn, dass es genau
> einen Homomorphismus gibt mit diesen Bildern, der R auch
> noch festlässt.
> Das zu zeigen wäre wohl eine gute Übung.
> Das ist hier sehr ahnlich zum Vorgehen z.B. in der
> linearen Algebra lineare Abb. durch die Bilder der Basis zu
> definieren.
> Also was ist z.B. [mm]$\varphi(X^2)$[/mm] ?oder [mm]$\varphi(Y^2)?[/mm]
Würde man dann [mm] $\phi$ [/mm] folgendermaßen „definieren“ (mir fällt dafür leider gerade kein besserer Ausdruck ein)?
[mm] $\phi\left( \sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{j=0}^\infty a_{kj} X^j\right)Y^k\right) [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{j=0}^\infty a_{kj} \phi(X)^j\right)\phi(Y)^k [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{j=0}^\infty a_{kj} T^{3j}\right)T^{2k}$
[/mm]
Wobei die Reihen natürlich eigentlich nur jeweils Summen sind, da ja Polynome und keine (formalen) Potenzreihen. Wäre es überhaupt „erlaubt“ etwas so zu definieren? Ist die Abbildung so überhaupt gedacht?
> Das sieht doch gut aus.
> Damit ist r von der Form:
> [mm]a_{00}+a{10}X+a{20}X^2+a_{01}Y+a_{02}Y^2 +a_{11}XY[/mm]
> und das Bild wird nur dann Null wenn alle Koeffizienten
> Null sind.
Warum haben bei deinem $r$ die Koeffizienten der $Y$, also die Polynome in $R[X]$ auch immer höchstens Grad 2? Der Grad bestimmt doch nicht, wie die Koeffizienten aussehen müssen, oder? Ich hätte jetzt eher gedacht vor den [mm] $Y^k$ [/mm] dürfen beliebige Polynome aus $R[X]$ stehen, also [mm] $r=\left(\sum_{j=0}^\infty a_{0j} X^j\right) Y^0+ \left(\sum_{j=0}^\infty a_{1j} X^j\right) [/mm] Y + [mm] \left(\sum_{j=0}^\infty a_{2j} X^j\right) Y^2$, [/mm] um bei der Reihenschreibweise zu bleiben.
> Vielleicht so: 1 lässt sich nicht als Summe von
> Vielfachen von 2 bzw. 3 darstellen, alle größeren
> natürlichen Zahlen dagegen schon.
Ja, danke, das ließe sich natürlich nutzen.
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank für deine Antwort!
>
> > Die von mir verwendete Schreibweise:
> > [mm]\varphi : R[X][Y] \to L=\{f \in R[T}| a_1=0\} \quad X \mapsto T^3 , Y \mapsto T^2[/mm]
>
> >
> > definiert einen Homomorphimus in dem Sinn, dass es genau
> > einen Homomorphismus gibt mit diesen Bildern, der R auch
> > noch festlässt.
> > Das zu zeigen wäre wohl eine gute Übung.
> > Das ist hier sehr ahnlich zum Vorgehen z.B. in der
> > linearen Algebra lineare Abb. durch die Bilder der Basis zu
> > definieren.
> > Also was ist z.B. [mm]$\varphi(X^2)$[/mm] ?oder [mm]$\varphi(Y^2)?[/mm]
>
> Würde man dann [mm]\phi[/mm] folgendermaßen „definieren“ (mir
> fällt dafür leider gerade kein besserer Ausdruck ein)?
fortsetzen?
> [mm]\phi\left( \sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{j=0}^\infty a_{kj} X^j\right)Y^k\right) := \sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{j=0}^\infty a_{kj} \phi(X)^j\right)\phi(Y)^k := \sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{j=0}^\infty a_{kj} T^{3j}\right)T^{2k}[/mm]
>
Schreib doch
> [mm]\phi\left( \sum_{k=0}^n \left(\sum_{j=0}^n a_{kj} X^j\right)Y^k\right) := \sum_{k=0}^n \left(\sum_{j=0}^n a_{kj} \phi(X)^j\right)\phi(Y)^k := \sum_{k=0}^n \left(\sum_{j=0}^m a_{kj} T^{3j}\right)T^{2k}[/mm]
dann ist es klar das es Summen und keine Reihen sind.
> Wobei die Reihen natürlich eigentlich nur jeweils Summen
> sind, da ja Polynome und keine (formalen) Potenzreihen.
> Wäre es überhaupt „erlaubt“ etwas so zu definieren?
> Ist die Abbildung so überhaupt gedacht?
Das ist durchaus so gedacht. Zeigt meines Erachtens auch gut warum man die Abbildung nicht so definiert, sondern so wie ich es gemacht hab: Es ist häßlich und unübersichtlich.
Und wenn du nicht überzeugt bist, dass das ein Homomorphismus ist empfehle ich es nachzurechnen.
> > Das sieht doch gut aus.
> > Damit ist r von der Form:
> > [mm]a_{00}+a{10}X+a{20}X^2+a_{01}Y+a_{02}Y^2 +a_{11}XY[/mm]
> > und das Bild wird nur dann Null wenn alle Koeffizienten
> > Null sind.
>
> Warum haben bei deinem [mm]r[/mm] die Koeffizienten der [mm]Y[/mm], also die
> Polynome in [mm]R[X][/mm] auch immer höchstens Grad 2? Der Grad
> bestimmt doch nicht, wie die Koeffizienten aussehen
Ich ging davon aus, dass du mit Grad in R[X][Y] den Gesamtgrad [mm] $deg(X^iY^j)=i+j$ [/mm] meinst. Wenn du nur den Grad in X [mm] $deg_X$, [/mm] zur Klarheit, meinst dann hast du Recht. Macht im weiteren Vorgehen aber keinen wirklichen Unterschied.
> müssen, oder? Ich hätte jetzt eher gedacht vor den [mm]Y^k[/mm]
> dürfen beliebige Polynome aus [mm]R[X][/mm] stehen, also
> [mm]r=\left(\sum_{j=0}^\infty a_{0j} X^j\right) Y^0+ \left(\sum_{j=0}^\infty a_{1j} X^j\right) Y + \left(\sum_{j=0}^\infty a_{2j} X^j\right) Y^2[/mm],
> um bei der Reihenschreibweise zu bleiben.
Bitte lass das mit der Reihenschreibweise. Damit verwirrst du dich doch nur selber.
> > Vielleicht so: 1 lässt sich nicht als Summe von
> > Vielfachen von 2 bzw. 3 darstellen, alle größeren
> > natürlichen Zahlen dagegen schon.
>
> Ja, danke, das ließe sich natürlich nutzen.
>
|
|
|
|
