Faktorraum, Lin.Abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Di 07.04.2015 | | Autor: | duduknow |
| Aufgabe | Es seien $V$ ein Vektorraum und $U$ ein Untervektorraum von $V$. Zeigen Sie:
Sind [mm] $[a_1], \dots, [a_n]$ [/mm] linear unabhängig im Quotientenraum $V/_U$, so sind [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] linear unabhängig in $V$.
Gilt auch die Umkehrung dieses Satzes? |
Hallo,
ich habe Probleme mit dem Begriff Faktorraum, und versuche das noch nachzuholen. Eine Aufgabe zu diesem Thema war diese, für die mein Ansatz der Folgende wäre. Stimmt das?
Sind [mm] $[a_1], \dots, [a_n]$ [/mm] linear unabhängig, folgt aus [mm] $\sum^n_{i = 1} \lambda_i [a_i] [/mm] = [mm] [\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i] [/mm] = [0]$ stets [mm] $\lambda_i [/mm] = 0$.
Die Bedingung ist äquivalent zu [mm] $(\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i) [/mm] + U = U$, und das ist genau dann der Fall, wenn [mm] $\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i \in [/mm] U$.
Da $0 [mm] \in [/mm] U$ folgt aus [mm] $\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i [/mm] = 0$ dass [mm] $\lambda_i [/mm] = 0$, also sind auch [mm] $a_i, \dots, a_n$ [/mm] linear unabhängig.
Die Umkehrung gilt nicht, da es zum Beispiel für $V = [mm] \mathbb{R}^2$, [/mm] $U = \ [mm] \mathbb{R} \times \{0\}$ [/mm] nicht gilt: [mm] $\binom{0}{1}$ [/mm] und [mm] $\binom{1}{1}$ [/mm] sind in $V$ linear unabhängig, aber in $V/_U$ sind beide Vektoren in der selben Klasse.
|
|
| |
|
> Es seien [mm]V[/mm] ein Vektorraum und [mm]U[/mm] ein Untervektorraum von [mm]V[/mm].
> Zeigen Sie:
>
> Sind [mm][a_1], \dots, [a_n][/mm] linear unabhängig im
> Quotientenraum [mm]V/_U[/mm], so sind [mm]a_1, \dots, a_n[/mm] linear
> unabhängig in [mm]V[/mm].
>
> Gilt auch die Umkehrung dieses Satzes?
> Hallo,
>
> ich habe Probleme mit dem Begriff Faktorraum, und versuche
> das noch nachzuholen. Eine Aufgabe zu diesem Thema war
> diese, für die mein Ansatz der Folgende wäre. Stimmt das?
>
> Sind [mm][a_1], \dots, [a_n][/mm] linear unabhängig, folgt aus
> [mm]\sum^n_{i = 1} \lambda_i [a_i] = [\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i] = [0][/mm]
> stets [mm]\lambda_i = 0[/mm].
>
> Die Bedingung ist äquivalent zu [mm](\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i) + U = U[/mm],
> und das ist genau dann der Fall, wenn [mm]\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i \in U[/mm].
Es ist zwar richtig, was du bisher geschrieben hast, aber das braucht man hier gar nicht. Im folgenden benutzt da einfach nur, dass aus [mm] $\sum\lambda_ia_i=0$ [/mm] auch [mm] $\sum\lambda_i[a_i]=0$ [/mm] folgt und hieraus folgt [mm] $\lambda_i=0$, [/mm] wenn die [mm] $[a_i]$ [/mm] linear unabhängig sind.
Das liegt eigentlich nur daran, dass die Projektion [mm] $V\longrightarrow [/mm] V/U$ ein Homomorphismus/lineare Abbildung ist. Allgemeiner können wir eine lineare Abbildung [mm] $V\longrightarrow [/mm] W$ betrachten. Es sei [mm] $(a_i)$ [/mm] eine Familie von Vektoren in $V$, sodass [mm] $(f(a_i))$ [/mm] linear unabhängig in $W$ ist. Aus [mm] $\sum \lambda_ia_i=0$ [/mm] folgt dann [mm] $\sum\lambda_if(a_i)=f(\sum\lambda_ia_i)=f(0)=0$, [/mm] also [mm] $\lambda_i=0$. [/mm] Dies zeigt, dass eine Familie von Vektoren unabhängig ist, sobald ihr Bild unter einem Homomorphismus es ist.
Dies liegt daran, dass wir aus [mm] $\sum\lambda_ia_i=0$ [/mm] auch [mm] $f(\sum\lambda_ia_i)=0$ [/mm] folgern können, dass also das Bild der Null wieder Null ist. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen natürlich nicht, sonder nur dann, wenn der Kern von $f$ trivial ist, also $f$ injektiv. Im Spezialfall $f=$(Projektion auf den Quotienten) ist das nur dann der Fall, falls $U=0$. Du hast ein korrektes Gegenbeispiel angegeben.
> Da [mm]0 \in U[/mm] folgt aus [mm]\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i = 0[/mm] dass
> [mm]\lambda_i = 0[/mm], also sind auch [mm]a_i, \dots, a_n[/mm] linear
> unabhängig.
>
> Die Umkehrung gilt nicht, da es zum Beispiel für [mm]V = \mathbb{R}^2[/mm],
> [mm]U = \ \mathbb{R} \times \{0\}[/mm] nicht gilt: [mm]\binom{0}{1}[/mm] und
> [mm]\binom{1}{1}[/mm] sind in [mm]V[/mm] linear unabhängig, aber in [mm]V/_U[/mm]
> sind beide Vektoren in der selben Klasse.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 07.04.2015 | | Autor: | duduknow |
Hi,
danke für deine Antwort.
Die Vektoren [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] sind also dann linear unabhängig, wenn [mm] $f(a_1), \dots, f(a_n)$ [/mm] linear unabhängig sind und [mm] $\sum \lambda_i a_i \in [/mm] Kern(f)$.
Bei dem Faktorraum $V/_U$ ist der Kern von [mm] $[\cdot]$ [/mm] dann $U$, und deswegen stimmt hier die Bedingung, dass [mm] $\sum \lambda_i a_i \in [/mm] U$ gelten muss.
Stimmt meine Folgerung, dass die Vektoren linear unabhängig sind im ersten Beitrag dann grundsätzlich, oder war das generell falsch? (Das kann ich aus deiner Antwort nicht so recht herauslesen)
|
|
|
| |
|
Dieses [mm] $\sum_i\lambda_ia_i\in [/mm] U $ bzw. [mm] $\in\ker [/mm] f $ hat mit der Argumentation eigentlich nichts zu tun, darauf wollte ich auch gestern hinaus. Unsere Voraussetzung ist ja, dass [mm] $([a_i]) [/mm] $ linear unabhängig ist. Jetzt wollen wir zeigen, dass $ [mm] (a_i) [/mm] $ l.a. ist. Per Definition müssen eir aus [mm] $\sum a_i\lambda_ia_i [/mm] $ folgern, dass [mm] $\lambda_i [/mm] =0$. Aus [mm] $\sum a_i\lambda_i [/mm] $ folgt zuerst [mm] $\sum\lambda_i [a_i]=0$. [/mm] Hier geht unsere Voraussetzung jetzt ein, und damit folgt $ [mm] \lambda_i=0$, [/mm] wie gewünscht.
Alles weitere geht im Prinzip daran vorbei,, was hier zu tun ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Mi 08.04.2015 | | Autor: | duduknow |
Natürlich, daraus muss ich [mm] $\lambda_i [/mm] = 0$ dann erst folgern. Danke, da habe ich total daneben gedacht.
|
|
|
| |
|
> Es seien [mm]V[/mm] ein Vektorraum und [mm]U[/mm] ein Untervektorraum von [mm]V[/mm].
> Zeigen Sie:
>
> Sind [mm][a_1], \dots, [a_n][/mm] linear unabhängig im
> Quotientenraum [mm]V/_U[/mm], so sind [mm]a_1, \dots, a_n[/mm] linear
> unabhängig in [mm]V[/mm].
>
> Gilt auch die Umkehrung dieses Satzes?
> Hallo,
>
> ich habe Probleme mit dem Begriff Faktorraum, und versuche
> das noch nachzuholen. Eine Aufgabe zu diesem Thema war
> diese, für die mein Ansatz der Folgende wäre. Stimmt das?
>
> Sind [mm][a_1], \dots, [a_n][/mm] linear unabhängig, folgt aus
> [mm]\sum^n_{i = 1} \lambda_i [a_i] = [\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i] = [0][/mm]
> stets [mm]\lambda_i = 0[/mm].
>
> Die Bedingung ist äquivalent zu [mm](\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i) + U = U[/mm],
> und das ist genau dann der Fall, wenn [mm]\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i \in U[/mm].
>
> Da [mm]0 \in U[/mm] folgt aus [mm]\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i = 0[/mm] dass
> [mm]\lambda_i = 0[/mm], also sind auch [mm]a_i, \dots, a_n[/mm] linear
> unabhängig.
Hallo,
Du hast vieles geschrieben, was richtig ist, aber Du reihst es nicht überzeugend aneinander.
Voraussetzung:
> [mm] [a_1], \dots, [a_n][/mm] [/mm] linear unabhängig.
Dann
> folgt aus
> [mm]\sum^n_{i = 1} \lambda_i [a_i] = [\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i] = [0][/mm]
> stets [mm]\lambda_i = 0[/mm].
Zu zeigen ist nun: dann sind auch [mm] a_1,...a_n [/mm] linear unabhängig, dh aus
[mm] \sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i=0 [/mm] folgt [mm] \lambda_i [/mm] = 0.
Beweis A:
sei [mm] \sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i=0.
[/mm]
Dann ist [mm] [\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i]=[0] [/mm] <==> [mm] \sum^n_{i = 1} \lambda_i [a_i]=[0].
[/mm]
Nach Voraussetzung folgt [mm] \lambda_i=0 [/mm] für alle i.
Oder - wenn ich Deine Argumentation aufgreife:
Beweis B:
sei [mm] \sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i=0.
[/mm]
Da [mm] 0\in [/mm] U, ist also [mm] \sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i\in [/mm] U,
somit ist
[mm] (\sum^n_{i = 1} \lambda_i a_i)+U=U
[/mm]
<==> [mm] [0]=U=\sum^n_{i = 1} \lambda_i (a_i+U) =\sum^n_{i = 1} \lambda_i [a_i]
[/mm]
==> [mm] \lambda_i=0 [/mm] für alle i.
LG Angela
>
> Die Umkehrung gilt nicht, da es zum Beispiel für [mm]V = \mathbb{R}^2[/mm],
> [mm]U = \ \mathbb{R} \times \{0\}[/mm] nicht gilt: [mm]\binom{0}{1}[/mm] und
> [mm]\binom{1}{1}[/mm] sind in [mm]V[/mm] linear unabhängig, aber in [mm]V/_U[/mm]
> sind beide Vektoren in der selben Klasse.
|
|
|
|
