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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Di 05.01.2010 | | Autor: | nana |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und U,W Untervektorräume.
Zeigen Sie, dass im Fall V = U⊕W, die Abbildung φ : W −→ V/U,w 7→ [w]
ein Isomorphismus von K-Vektorräumen ist. Hierbei bezeichnet [w] die Äquivalenzklasse von w.
Was ergibt sich damit für die Dimension von V/U?
(Falls nicht bekannt: v [mm] \sim [/mm] w [mm] :\gdw [/mm] v − w [mm] \in [/mm] U
V/U := { [v] | v [mm] \in [/mm] V }
[v] = v + U := {v + u | u [mm] \in [/mm] U } |
Ich habe schon ein Problem beim ersten Teil, und zwar dem Nachweis der Strukturerhaltung:
φ(w1+w2)= [w1 + w2] = (w1+w2) + U ...
aber ich muss ja auf (w1+U)+ (w2+U) kommen um dann φ(w1)+φ(w2)zu folgern...
Man muss sicherlich die Voraussetzung V = U⊕W nutzen, aber ich weiß nicht wie...
Vielen Dank im Voraus für alle Antworten...
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo nana,
siehe hier.
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Di 05.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Stefan hat ja schon geschrieben, dass genau diese Aufgabe hier vor kurzem schon gestellt wurde. Dass [mm] $[w_1+w_2]=[w_1]+[w_2]$ [/mm] gilt, ist eigentlich einfach die Defintion der Vektorraumstruktur auf $V/U$. Dort müsstet ihr auch gezeigt haben, dass das alles wohldefiniert ist usw.
Gruß, Robert
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