Faktorisierung von Linearfakto < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei p [mm] \in \IC[z],
[/mm]
[mm] p(z)=z^3-5z^2-6iz+4+6i.
[/mm]
Berechnen Sie die Faktorisierung von p in Linearfaktoren. |
Hallo,
ich weiß, wie ich die Faktorisierung von einem Polynom in [mm] \IR[x] [/mm] berechnen kann, nämlich durch "raten" einer Nullstelle und Polynomdivision.
So habe ich es hier auch zu erst versucht, [mm] z_1 [/mm] = 1 ist eine Nullstelle, mit Polynomdivision habe ich das Polynom [mm] q(z):=z^2-4z-4-6i [/mm] erhalten, aber die Nullstellen von q(z) wären [mm] z_2=2+\wurzel{8+6i} [/mm] und [mm] z_3=2-\wurzel{8+6i}.
[/mm]
Ich bin also nicht sehr weit gekommen :-(
Ich habe gehört, dass man mit dem Horner Schema die Aufgabe lösen kann. Stimmt das? Leider komme ich auch dabei nicht weiter, außer das
p(z)=4+6i+z(-6i+z(-5+z(1))) ist.
Liebe Grüße
meinmathe
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Hi,
> Sei p [mm]\in \IC[z],[/mm]
> [mm]p(z)=z^3-5z^2-6iz+4+6i.[/mm]
> Berechnen Sie die Faktorisierung von p in Linearfaktoren.
> Hallo,
>
> ich weiß, wie ich die Faktorisierung von einem Polynom in
> [mm]\IR[x][/mm] berechnen kann, nämlich durch "raten" einer
> Nullstelle und Polynomdivision.
> So habe ich es hier auch zu erst versucht, [mm]z_1[/mm] = 1 ist
> eine Nullstelle, mit Polynomdivision habe ich das Polynom
> [mm]q(z):=z^2-4z-4-6i[/mm] erhalten, aber die Nullstellen von q(z)
> wären [mm]z_2=2+\wurzel{8+6i}[/mm] und [mm]z_3=2-\wurzel{8+6i}.[/mm]
>
> Ich bin also nicht sehr weit gekommen :-(
>
Hmm, wieso? Wenn du richtig gerechnet hast, bist du doch hier fast fertig mit der aufgabe...
> Ich habe gehört, dass man mit dem Horner Schema die Aufgabe
> lösen kann. Stimmt das? Leider komme ich auch dabei nicht
> weiter, außer das
> p(z)=4+6i+z(-6i+z(-5+z(1))) ist.
>
Wo ist dein problem. Wenn du die komplexen Nullstellen hast, hast du doch auch die faktorisierung...
gruss
matthias
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Hallo matthias,
ich weiß nicht was die [mm] \wurzel{8+6i} [/mm] ist, ich dachte das könnte man nicht auflösen.
Außerdem dachte ich, dass es vielleicht mit dem Horner-Schema ein einfachen allgemeinen Weg gibt, da man ja beim Raten nicht immer eine Nullstelle findet.
Liebe Grüße
meinmathe
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> Hallo matthias,
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> ich weiß nicht was die [mm]\wurzel{8+6i}[/mm] ist, ich dachte das
> könnte man nicht auflösen.
> Außerdem dachte ich, dass es vielleicht mit dem
> Horner-Schema ein einfachen allgemeinen Weg gibt, da man ja
> beim Raten nicht immer eine Nullstelle findet.
>
>
> Liebe Grüße
> meinmathe
ok, jetzt verstehe ich. zum ziehen der wurzel empfiehlt sich darstellung der zahl in polarkoordinaten,dh. [mm] $z=re^{i\phi}$. [/mm] dann ist das einfach.
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Hallo,
gibt es keine Möglichkeit, dass ohne Polarkoordinatendarstellung zu lösen?
Ich bin darin nämlich nicht so fit bzw. haben wir die nicht tiefer besprochen.
Also angenommen [mm] z=2+\wurzel{8+6i} [/mm] und [mm] r=|z|=\wurzel{2^2+(8+6i)}=\wurzel{4+8+6i}=\wurzel{12+6i}.
[/mm]
Dann ist [mm] z=\wurzel{12+6i}*(cos \phi [/mm] +i sin [mm] \phi) [/mm] mit tan [mm] \phi= \wurzel{8+6i}/2.
[/mm]
Dies sieht mir unmöglich zu lösen aus.
Liebe Grüße
meinmathe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 24.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Ich stimme Matthias zu: du hast doch schon die Linearfaktorzerlegung, denn $2\pm\sqrt{8+6i)$ ist ein komplexe Zahl.
> gibt es keine Möglichkeit, dass ohne
> Polarkoordinatendarstellung zu lösen?
Du müsstest eine komplexe Zahl $u+iv$ finden mit $u+iv=\sqrt{8+6i)\gdw (u+iv)^2 = 8+6i$. Zerlegung nach Real- und Imaginärteil ergibt das Gleichungssystem
$u^2-v^2=8$, $uv=3$
Damit kommst du ziemlich schnell auf die Antwort.
> Ich bin darin nämlich nicht so fit bzw. haben wir die nicht
> tiefer besprochen.
> Also angenommen [mm]z=2+\wurzel{8+6i}[/mm] und
> [mm]r=|z|=\wurzel{2^2+(8+6i)}=\wurzel{4+8+6i}=\wurzel{12+6i}.[/mm]
Du darfst doch beim Betrag kein i stehen lassen. Zunächst einmal würde ich [mm] $z-2=\wurzel{8+6i}$ [/mm] ausrechnen, das ist einfacher. Dann rechnest du zuerst Betrag und Winkel von [mm] $8+6i=re^{i\varphi}=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ [/mm] aus:
$ r= |8+6i| = [mm] \sqrt{8^2+6^2}= \dots$
[/mm]
$ [mm] \sin\varphi [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}$ [/mm] , [mm] $\cos\varphi=\bruch{4}{5} [/mm] $
Die Wurzel ergibt sich zu
[mm] $\wurzel{8+6i} [/mm] = [mm] \sqrt{r}e^{i\varphi/2} [/mm] = [mm] \sqrt{r} (\cos\bruch{\varphi}{2} [/mm] + i [mm] \sin\bruch{\varphi}{2} [/mm] )$.
Wenn du jetzt noch [mm] $\cos\bruch{\varphi}{2}=\wurzel{\bruch{1+\cos\varphi}{2}}$ [/mm] und [mm] $\sin\bruch{\varphi}{2}=\wurzel{\bruch{1-\cos\varphi}{2}}$ [/mm] benutzt, kannst du das Ergebnis sofort hinschreiben.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe also als Nullstellen:
[mm] z_1=1
[/mm]
[mm] z_2=5+i [/mm] folgt aus (2+(3+i))
[mm] z_3=-1-i [/mm] folgt aus (2-(3+i))
Leider ergibt (z-1)*(z-5-i)*(z+1+i) nicht ganz mein Ausgangspolynom. Muss man bei komplexen Nullstellen noch mehr beachten?
LG
meinmathe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 So 24.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
> Ich habe also als Nullstellen:
> [mm]z_1=1[/mm]
> [mm]z_2=5+i[/mm] folgt aus (2+(3+i))
> [mm]z_3=-1-i[/mm] folgt aus (2-(3+i))
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Leider ergibt (z-1)*(z-5-i)*(z+1+i) nicht ganz mein
> Ausgangspolynom.
Doch, da musst du dich verrechnet haben:
$(z-1)*(z-5-i)*(z+1+i) = [mm] (z-1)*(z^2 [/mm] +z *(-4) - (5+i)*(1+i)) [mm] =(z-1)*(z^2-4z-4-6i) [/mm] = [mm] \dots$ [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Mo 25.02.2008 | | Autor: | meinmathe |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Antworten.
Eigentlich hatte ich das Ergebnis gestern mehrmals nachgerechnet, aber heute aber ich das Ergebnis nocheinmal nachgerechnet, und nun stimmt das auch bei mir 
LG
meinmathe
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