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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 So 07.11.2010 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Zerlegen Sie das Polynom h(x) = [mm] x^3 [/mm] − [mm] 4x^2 [/mm] − 7x + 10 in Linearfaktoren
(d.h. Faktoren der Form (x − a)). |
Hallo zusammen,
ich komme leider nicht auf die Linearfaktorzerlegung
Ich habe momentn nur [mm] x^2(x-4) [/mm] -7x+ 10= 0
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 So 07.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
vorne das [mm] x^2 [/mm] auszuklammern, bringt Dich leider nicht weiter. Es gibt eine hoffnungslos komplizierte Lösungsformel für Polynome 3. Grades, die keiner hernimmt, und Computer gestützte Lösungsmethoden sind oft nicht zugelassen, also muß man die erste Nullstelle "erraten."
Bei überabzählbar unendlich vielen reellen Zahlen scheint das völlig ausichtslos, aber -Überraschung- aus mysteriösen Gründen scheint immer eine kleine ganze Zahl unter den Nullstellen.
Fang mit [mm] $\pm [/mm] 1$ an, und wenn das nicht hilft, dann probier die Primfaktoren der hinteren Konstante (hier 10=2*5) und ihre negativen Werte.
Ein Blick auf die Funktion
[mm] $ax^3+bx^2+cx+d=0$
[/mm]
(nur a=1 und d=10 sind positiv, a ist vergleichsweise klein, und b=-4 und c=-7 sind ziemlich große negative Zahlen)
verrät Dir, daß eine positive Nullstelle entweder nahe bei 0 (dann gleicht die Konstante d die negativen Werte von b und c aus) oder recht groß (dann dominiert das [mm] $x^3$ [/mm] die niederen Potenzen trotz kleinem a) sein muß.
Mein Tip, ohne gerechnet oder es überprüft zu haben: Die Nullstellen sind 1, 5 und -2. =)
ciao
Stefan
P.S.: Preisfrage: Warum sind die Primfaktoren der Konstante d oft hilfreich?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 So 07.11.2010 | | Autor: | yuppi |
Da man über die Primfaktorzerlegung von d meistens ein paar NS rausbekommt.
In diesem Fall -2 und 5 aber wie kamst du auf die 1 ?
echt intressant dein verfahren aber anwenden könnte ich es bis jetzt glaub ich noch nicht ,,,,,
Wäre also : (x-1) (x+2) (x-5) das richtige Ergebnis ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 So 07.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo yuppi!
Dass Dein Ergebnis stimmt, kannst Du doch durch Ausmultiplizieren dieser Klammern selbst überprüfen.
Bedenke, dass auch [mm] $\pm [/mm] \ 1$ Teile des Absolutgliedes $+10_$ sind.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Mo 08.11.2010 | | Autor: | yuppi |
Bedenke, dass auch +/- 1 und +/- 10 Teile des Absolutgliedes sind
Wie soll ich das verstehen loddar ?
Es hat geklappt... aber woher soll ich wissen, dass das wirklich alle nullstellen sind. Denn wenn ich eine nicht entdeckt habe ist das Ergebnis ja falsch.
Ermittelt man also immer über die Primfaktorzerlegung von d alle nullstellen ?
Gruß yuppi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo yuppi!
Die Teile des Absolutgliedes sind nicht zwangsläufig auch Nullstellen der Funktion; es sind aber aussichtsreiche Kandidaten.
Hat man ein oder gar zwei davon gefunden, kann man auch mit  Polynomdivision weiterrechnen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Mo 08.11.2010 | | Autor: | yuppi |
Meinst du Polynomdivision um weitere Nullstellen zu ermitteln ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Mo 08.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja hat man eine Nst [mm] x_0 [/mm] gefunden, dividiert man das Pol. durch [mm] (x-x_0) [/mm] hat dadurch ein kleineres hier ein quadratisches, da gibts ne Methode um die weiteren zu finden.
Ein Polynom nten Grades hat HÖCHSTENS n Nullstellen. wenn es nicht n- Nst hat kann man es nicht in reelle Linearfaktoren zerlegen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
probier *immer* zuerst +1 und -1.
Die Polynome, die Du kriegst sind von Deinem Lehrer speziell konstruiert, um lösbar zu sein. Es wird (fast - vielleicht haßt er Euch) immer eine einfache Nullstelle geben, so daß Du per Polynomdivision eine quadratische Gleichung kriegst, die Du dann per Formel lösen kannst.
Primfaktoren aus der gleichen Überlegung. Wenn das Polynom 3 Nullstellen hat, ist die Konstante das Negative des Produkts der Nullstellen mal dem Koeffizienten von [mm] $x^3$. [/mm] Sind die Nullstellen auch noch ganzzahlig, dann muß jede Nullstelle eine Kombination der Primfaktoren sein, und weil die Nullstellen meist relativ klein sein werden, wird es häufig einer der Primfaktoren selber sein (oder jeweils das Negative).
Wenn Dir das wie schwarze Magie vorkommt, dann probier nach +1 und -1 einfach +2, -2, etc. aus. Meist ist spätestens dann eine gefunden.
ciao
Stefan
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