Faktorisieren eines Polynoms < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:25 Di 11.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{x^{3} - 8 }{2 - x} [/mm] |
Der Quotient soll durch faktorisieren vereinfacht werden.
Durch Polynomdivision [mm] (x^{3} [/mm] - 8) : (2 - x) habe ich [mm] (-2x^{2} [/mm] - 4x - 4)(2 - x) als Faktorisierung von [mm] x^{3} [/mm] - 8 gefunden. Ich denke aber, dass diese Lösung ohne Polynomdivision gefunden werden sollte.
Wie soll ich also von [mm] x^{3} [/mm] - 8 auf [mm] (-2x^{2} [/mm] - 4x - 4)(2 - x) kommen?
Danke und Gruß
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Gewissensbisse überflüssig, dein Vorgehen ist vollkommen angemessen. Faktorisierung und Division sind doch zwei Seiten derselben Medaille. Die Rechnung hätte man vielleicht eine Idee schöner gestalten können, wenn man rechtzeitig ein Minuszeichen vorgezogen hätte:
[mm]\frac{x^3 - 8}{2 - x} = - \, \frac{x^3 - 8}{x - 2}[/mm]
Jetzt erst Polynomdivision: [mm]\left( x^3 - 8 \right) : \left( x - 2 \right)[/mm]. Aber das sind bis zu einem gewissen Grad auch Geschmacksfragen.
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Hallo,
Du könntest vor die Polynomdivision noch folgende Überlegung schieben:
2 ist eine Nullstelle von [mm] x^3-8. [/mm] Also kann ich sicher sein, daß es ein Polynom p(x) vom Grad 2 gibt mit [mm] (x-2)p(x)=x^3-2.
[/mm]
(Denn wenn im Zähler 3-x gestanden hätte, hätte das ja nicht so hübsch geklappt mit der Division.)
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Di 11.09.2007 | | Autor: | holwo |
Alternativ kannst du so machen: du ratest eine Nullstelle, in diesem Fall sieht man dass 2 eine Nullstelle ist, und dann benutzt du das Hornerschema um auf die Faktorisierung zu kommen. Das hat bei mir meistens funktioniert und geht ziemlich schneller als eine Polynomdivision.
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