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Hallo,
Zunächst einmal ist das nicht völlig präzise, weil nicht klar ist, aus welchem [mm] $\IZ$ [/mm] das $a$ kommen soll, was also genau herausgeteilt wird. Was ich damit meine, ist das Folgende: Wenn wir jetzt statt [mm] $\IZ\ast\IZ$ [/mm] mal [mm] $2\IZ\ast4\IZ$ [/mm] betrachten würden - was wäre dann [mm] $2\IZ\ast4\IZ/\langle\langle 2\rangle\rangle$?
[/mm]
Außerdem ist die Aussage, selbst präzise formuliert, nicht richtig, es muss [mm] $a=\pm [/mm] 1$ gelten.
Betrachten wir also [mm] $\IZ\ast\IZ$ [/mm] mit den kanonischen Injektionen [mm] $\IZ\xrightarrow{i_1,i_2}\IZ\ast\IZ$, [/mm] die man beim Koprodukt mitgeliefert bekommt. Ist dann [mm] $\IZ\ast\IZ/i_1(1)\cong\IZ$, [/mm] wobei [mm] $G/M:=G/\langle\langle M\rangle\rangle$?
[/mm]
Zeigen wir allgemeiner, dass [mm] $(G\ast H)/i_1(M)\cong G/M\ast [/mm] H$, wobei [mm] $M\subseteq [/mm] G$. Dazu vergleichen wir die universellen Eigenschaften.
[mm] $(G\ast H)/i_1(M)$ [/mm] klassifiziert die Homomorphismen [mm] $G\ast H\to [/mm] X$, die ganz [mm] $i_1(M)$ [/mm] auf die $1$ schicken. Genau dann schickt [mm] $f:G\ast H\to [/mm] X$ ganz [mm] $i_1(M)$ [/mm] auf $X$, wenn [mm] $f\circ i_1:G\to [/mm] X$ ganz $M$ auf die $1$ schickt. Außerdem klassifiziert [mm] $G\ast [/mm] H$ die Paare von Homomorphsimen [mm] $G\to [/mm] X$ und [mm] $H\to [/mm] X$ via Komposition mit [mm] $i_1$ [/mm] und [mm] $i_2$. [/mm] Also klassifiziert [mm] $(G\ast H)/i_1(M)$ [/mm] die Paare von Homomorphismen [mm] $G\to [/mm] X$, die $M$ auf $1$ schicken und [mm] $H\to [/mm] X$. Das sind genau die Paare von Homomorphismen [mm] $G/M\to [/mm] X$ und [mm] $H\to [/mm] X$. Das ist exakt die universelle Eigenschaft von [mm] $G/M\ast [/mm] H$!
Beachte, dass diese Art der Schlussweise wesentlich inspiriert durch das Yoneda-Lemma ist.
Es folgt, dass [mm] $\IZ\ast\IZ/i_1(a)\cong\IZ/a\ast\IZ$, [/mm] und der erste freie Faktor verschwindet genau dann, wenn $a$ eine Einheit in [mm] $\IZ$ [/mm] ist.
Außerdem ist selbstverständlich nicht [mm] $\langle\langle i_1(1)\rangle\rangle\cong\IZ$! [/mm] Bedenke das nochmal genauer!
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Sa 17.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Vielen Dank UniOb für deine sehr hilfreiche Antwort!
Du hast meine meine etwas verwirrende Schreibweise richtig gedeutet. Ich war wohl in Gedanken bei einem anderen (ähnlichen) Problem. Tut mir Leid!
Es sollte in der Tat $a=1$ aus dem ersten [mm] \IZ [/mm] sein und $ [mm] \IZ\ast\IZ/i_1(a)\cong\IZ/a\ast\IZ [/mm] $. Aber zum Glück hast du gedankenleserische Fähigkeiten 
LG
Ladon
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